Để tính giá trị của tổng \( H = \frac{1}{3} + \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \ldots + \left( \frac{1}{3} \right)^{101} \), chúng ta nhận thấy đây là một tổng hình học với hệ số đầu tiên \( a = \frac{1}{3} \) và tỷ lệ công b \( r = \frac{1}{3} \).

Số hạng cuối cùng trong tổng này là \( n = 101 \).

Công thức tổng của một dãy số hình học là:

\[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Áp dụng công thức này vào trường hợp của chúng ta:

- \( a = \frac{1}{3} \)
- \( r = \frac{1}{3} \)
- \( n = 101 \) (tức là có tổng cộng 101 số hạng, bắt đầu từ \( n = 1 \) đến \( n = 101 \))

Bây giờ, chúng ta tính \( H \):

\[
H = \frac{1/3 \cdot (1 - (1/3)^{101})}{1 - 1/3}
\]

Tính \( 1 - 1/3 \):

\[
1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
\]

Vậy \( H \) có thể viết lại là:

\[
H = \frac{1/3 \cdot (1 - (1/3)^{101})}{2/3}
\]

Hoặc viết lại:

\[
H = \frac{1 - (1/3)^{101}}{2}
\]

Bây giờ, chúng ta cần tính \( (1/3)^{101} \):

\[
(1/3)^{101} = \frac{1}{3^{101}}
\]

Vì vậy, cuối cùng, \( H \) sẽ là:

\[
H = \frac{1 - \frac{1}{3^{101}}}{2}
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
H = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{101}}
\]

Do đó, giá trị của \( H \) là:

\[
H = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{101}}
\]