Chứng minh 2024^2024 + 2025^2025/2024^2025 + 2025^2026 không nguyên

Để chứng minh rằng \(\frac{2024^{2024} + 2025^{2025}}{2024^{2025} + 2025^{2026}}\) không phải là số nguyên, chúng ta có thể tính cả tử và mẫu của biểu thức này.

Từ biểu thức:

\[
\frac{2024^{2024} + 2025^{2025}}{2024^{2025} + 2025^{2026}}
\]

Chúng ta đặt \(x = 2024\) và \(y = 2025\) để đơn giản hóa các phép tính:

\[
\frac{x^{2024} + y^{2025}}{x^{2025} + y^{2026}}
\]

Bây giờ, hãy xem xét đơn giản hóa tử số và mẫu số.

**Tử số:**

Ghi chú rằng \(y^{2025} = 2025^{2025} = (2024 + 1)^{2025}\), và nếu áp dụng Định lý nhị thức thì:

\[
y^{2025} = 2025^{2025} = (2024 + 1)^{2025} = \sum_{k=0}^{2025} \binom{2025}{k} 2024^k
\]

Trong đó, hạng tử có \(k=2025\) là \(1\) và hạng tử có \(k=2024\) là \(2024\). Tử số sẽ chủ yếu được chi phối bởi hạng tử lớn nhất, tức là \(y^{2025}\).

**Mẫu số:**

Tương tự, mẫu số \(x^{2025} + y^{2026}\) cũng có thể được xem xét dưới dạng:

\[
x^{2025} + y^{2026} = 2024^{2025} + (2024 + 1)^{2026}
\]

Sử dụng Định lý nhị thức cho \(y^{2026}\):

\[
y^{2026} = (2024 + 1)^{2026} = \sum_{k=0}^{2026} \binom{2026}{k} 2024^k
\]

**So sánh tính nguyên của tử và mẫu:**

Chúng ta cần kiểm tra xem hai hạng tử \(x^{2024} + y^{2025}\) và \(x^{2025} + y^{2026}\) có thể chia hết cho nhau hay không.
Chúng ta có thể chứng minh rằng:

Tử số: Chủ yếu được chi phối bởi \(y^{2025}\).
Mẫu số: Chủ yếu được chi phối bởi \(y^{2026}\).

Xét phân tích modulo.

**Kết luận:**

Cuối cùng, ta có

\[
\text{Mẫu số} \quad > 2025^{2026}
\]
\[
\text{Tử số} \quad < 2025^{2026} \text{ (do nguồn gốc của thông số)}
\]

Nghĩa là \(Từ < Mẫu\), nên ta có:
\[
\frac{2025^{2025}}{2025^{2026}} = \frac{2025^{2025}}{2024^{2025} + 2025^{2026}} < 1
\]

Do đó, kết luận rằng \(\frac{2024^{2024} + 2025^{2025}}{2024^{2025} + 2025^{2026}}\) không phải là số nguyên.