Chứng minh: 2024^2024+2025^2025/2024^2025+2025^2026 không nguyên

Để chứng minh rằng biểu thức \(\frac{2024^{2024} + 2025^{2025}}{2024^{2025} + 2025^{2026}}\) không phải là số nguyên, chúng ta có thể phân tích từng phần trong tử số và mẫu số.

Xét tử số:
\[
T = 2024^{2024} + 2025^{2025}
\]
Xét mẫu số:
\[
M = 2024^{2025} + 2025^{2026}
\]

Chúng ta có thể viết lại mẫu số \(M\) như sau:
\[
M = 2024^{2025} + 2025^{2026} = 2024 \cdot 2024^{2024} + 2025 \cdot 2025^{2025}
\]

Như vậy, ta có thể viết lại biểu thức thành:
\[
\frac{T}{M} = \frac{2024^{2024} + 2025^{2025}}{2024^{2025} + 2025^{2026}} = \frac{T}{2024 \cdot 2024^{2024} + 2025 \cdot 2025^{2025}}
\]

Tiếp theo, hãy xét tỷ lệ giữa tử số và mẫu số.
Chia cả tử số và mẫu số cho \(2025^{2025}\):
\[
\frac{T}{M} = \frac{\frac{2024^{2024}}{2025^{2025}} + 1}{\frac{2024^{2025}}{2025^{2025}} + 2025} = \frac{\left(\frac{2024}{2025}\right)^{2024} + 1}{\left(\frac{2024}{2025}\right)^{2025} + 2025}
\]

Gọi \(x = \frac{2024}{2025}\), ta có:
\[
\frac{T}{M} = \frac{x^{2024} + 1}{x^{2025} + 2025}
\]

Lúc này, với \(x < 1\) và \(x^{2025} \ll 2025\), mẫu số \(x^{2025} + 2025\) sẽ chủ yếu phụ thuộc vào hằng số 2025.

Khi \(x \rightarrow 1\), xét giới hạn:
\[
\lim_{x \to 1} \frac{x^{2024} + 1}{x^{2025} + 2025} = \frac{1 + 1}{1 + 2025} = \frac{2}{2026}
\]

Vì biểu thức \(\frac{2}{2026} = \frac{1}{1013}\) không phải là số nguyên, và với \(x < 1\), nên giá trị của \(\frac{T}{M}\) sẽ vẫn không phải là số nguyên và nhỏ hơn 1.

Do đó, biểu thức
\[
\frac{2024^{2024} + 2025^{2025}}{2024^{2025} + 2025^{2026}}
\]
không phải là số nguyên.

Vậy ta đã chứng minh xong.