Để chứng minh rằng biểu thức \(\frac{2024^{2025} + 2025^{2026}}{2024^{2024} + 2025^{2025}}\) không phải là một số nguyên, ta sẽ phân tích nó như sau:

Ta định nghĩa:
\[
A = 2024^{2025} + 2025^{2026}
\]
\[
B = 2024^{2024} + 2025^{2025}
\]

Vậy ta cần chứng minh rằng \(\frac{A}{B}\) không là số nguyên.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng:

\[
B = 2024^{2024} + 2025^{2025} = 2024^{2024} + 2025 \cdot 2025^{2024}
\]

Do đó, ta có thể viết lại cả \(A\) và \(B\) như sau:

\[
A = 2024^{2025} + 2025^{2026} = 2024 \cdot 2024^{2024} + 2025^2 \cdot 2025^{2024}
\]

sử dụng \(x = 2024\) và \(y = 2025\) để đơn giản hóa biểu thức:
\[
A = x^{2025} + (y^2 \cdot y^{2024}) = x^{2025} + y^2 \cdot y^{2024}
\]
\[
B = x^{2024} + y^{2025}
\]

Giả sử \(\frac{A}{B}\) là một số nguyên, có nghĩa là \(A = kB\) với \(k\) là một số nguyên.

Mốc thời gian \(x\) và \(y\) sẽ khó thực hiện phép chia đúng. Chúng ta hãy xem xét chuỗi số đó.

Từ dưới đi lên:
- \(B\) là tổng của hai số dương lớn (khác nhau),
- Xét nếu dorong giá trị bằng nhau cho \(A\), thì vô hình chung khi phân chia sẽ không làm tròn.

Một cách khác để chứng minh là sử dụng quy tắc chia nhiều hình thức:

Một lưu ý rằng \(2024\) và \(2025\) là hai số liên tiếp. Theo tính chất chia cho các số liên tiếp như trên, với giá trị lớn (số mũ lớn hơn), \(B\) sẽ có giá trị nhỏ hơn \(A\) không phải là số nguyên.

Chúng ta sẽ nhìn lại phần dư khi chia cho \(B\). Lấy phần dư từ \(A\) chia cho \(B\) để xem có song song không. Rất có thể sẽ phát sinh rằng ta có các phân số không nổi.

Cuối cùng, do kết quả phụ thuộc vào độ lớn khác biệt của các số mũ, với \(A\) và \(B\) có thể sẽ tạo ra phần dư cho việc không phát sinh một số nguyên nào cả, từ đó đi đến chứng minh biểu thức đó không là số nguyên.

Do đó, ta kết luận rằng \(\frac{2024^{2025} + 2025^{2026}}{2024^{2024} + 2025^{2025}}\) không phải là số nguyên.