Tìm các số nguyên dương, biết (a⁵+ b)(a+ b)= 2^c

Để giải bài toán này, ta xét phương trình \((a^5 + b)(a + b) = 2^c\) với \(a\), \(b\), và \(c\) là các số nguyên dương.

Do \(2^c\) là một số chẵn và \(a\), \(b\) là các số nguyên dương, ta sẽ phân tích các thành phần trong biểu thức:

1. **Phân tích tính chẵn lẻ**:
- Nếu \(a\) và \(b\) đều là số lẻ, thì \(a + b\) cũng là số chẵn.
- Nếu \(a\) hoặc \(b\) là số chẵn, thì \(a^5 + b\) có thể là số chẵn hoặc lẻ tùy thuộc vào giá trị cụ thể của \(a\) và \(b\).

2. **Xét trường hợp cụ thể**:
- Giả sử \(a = 1\), thì ta có:
\[
(1^5 + b)(1 + b) = (1 + b)(1 + b) = (1 + b)^2
\]
Đặt \(b = k\), ta có:
\[
(1 + k)^2 = 2^c
\]
Điều này chỉ xảy ra khi \(1 + k\) là một số mũ của 2.
- Vậy có:
\[
1 + k = 2^m \quad \text{với } m \text{ là một số nguyên dương.}
\]
Từ đây, \(k = 2^m - 1\) và \(c = 2m\).

3. **Tìm các cặp \((a, b, c)\)**:
- Khi \(a = 1\), \(b = 1\) (nghĩa là \(k = 1\)):
\[
(1 + 1)(1 + 1) = 2 \times 2 = 4 = 2^2 \quad \Rightarrow (1, 1, 2)
\]
- Nếu \(a = 1\), \(b = 3\):
\[
(1 + 3)(1 + 3) = 4 \times 4 = 16 = 2^4 \quad \Rightarrow (1, 3, 4)
\]
- Tương tự với các giá trị khác của \(b\) ta có thể tìm được các cặp phân tích tương tự.

Kết luận, ta đã tìm được một số cặp giá trị cho \((a, b, c)\):
- \((1, 1, 2)\)
- \((1, 3, 4)\)

Cách tiếp cận này có thể được áp dụng cho các trường hợp khác của \(a\) và \(b\) để tìm các phương trình tương tự.