Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích hàm số bậc ba \( f(x) \) thông qua đồ thị được cho.

1. **Xác định các giá trị của \( f(x) \):**
- Quan sát đồ thị, ta thấy hàm số \( f(x) \) có điểm cực đại tại khoảng \( x = -1 \) với giá trị là \( f(-1) = 2 \).
- Hàm số có điểm cực tiểu tại khoảng \( x = 1 \) với giá trị là \( f(1) = -2 \).
- Tại biên \( x = -1 \) và \( x = 2 \), ta có \( f(-1) = 2 \) và \( f(2) \) (xác định từ đồ thị) khoảng \( -2 \).

2. **Phương trình cần giải:**
- Phương trình \( f(x^3 - 3x^2 + m) + 3 = 0 \) tương đương với:
\[
f(x^3 - 3x^2 + m) = -3
\]
- Để phương trình này có nghiệm, giá trị \( -3 \) phải nằm trong khoảng giá trị mà hàm \( f(x) \) đạt được trên đoạn \([-1, 2]\).

3. **Xác định khoảng giá trị của \( m \):**
- Từ đồ thị, \( f(x) \) đạt giá trị tối đa là \( 2 \) và mức giá trị tối thiểu tại khoảng \( x = 1 \) là \( -2 \).
- Phương trình \( f(x) = -3 \) sẽ không có nghiệm trên khoảng này, vì giá trị \( -3 \) nằm ngoài giới hạn giá trị của \( f(x) \).

4. **Tìm các giá trị nguyên của \( m \):**
- Bởi vì \( f(x) \) luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị nhỏ nhất của nó (tức là \( -2 \)), chúng ta cần đặt điều kiện cho hàm số:
\[
x^3 - 3x^2 + m \text{ phải trong đoạn mà } f(x) \text{ đạt giá trị là } -3.
\]
- Từ đó, yêu cầu của bài toán sẽ trở thành: tìm số nguyên \( m \) sao cho \( x^3 - 3x^2 + m \) có thể nằm trong khoảng đảm bảo \( f \to trên [-1, 2] \).

Tìm các giá trị nguyên này và tính toán đối với các giá trị của \( m \) trong đoạn \( [-1, 2] \):
- Giá trị nào cho \( m \) sao cho \( m - 3 \) nằm trong khoảng giá trị có nghiệm của hàm trên.

Kết luận:
- Tính ra và kiểm tra số giá trị nguyên của tham số \( m \) trong khoảng tìm được.

Theo kinh nghiệm, bạn có thể phải thử lựa chọn trong các phương án từ 5 đến 10 (A, B, C, D) để tìm giá trị chính xác. Chúc bạn thành công trong việc tìm ra số giá trị nguyên của tham số \( m \)!