Tìm các số nguyên x, y sao cho x^2+x= y^4+y^3+y^2+y

Để giải phương trình \( x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y \) và tìm các số nguyên \( x \) và \( y \), chúng ta sẽ phân tích và sử dụng phương pháp kẹp giá trị.

Đầu tiên, ta có thể viết lại phương trình một cách rõ ràng hơn:

\[
x^2 + x = y(y^3 + y^2 + y + 1)
\]

Chú ý rằng \( y^3 + y^2 + y + 1 \) có thể nhân với \( y \) để đánh giá giá trị của nó theo \( y \).

Chúng ta bắt đầu bằng cách tính giá trị của hàm bên phải cho một số giá trị của \( y \):

- Khi \( y = 0 \):
\[
y^4 + y^3 + y^2 + y = 0
\]
Vậy phương trình trở thành \( x^2 + x = 0 \), dẫn đến \( x(x + 1) = 0 \), cho \( x = 0 \) hoặc \( x = -1 \).

- Khi \( y = 1 \):
\[
y^4 + y^3 + y^2 + y = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
\]
Vậy phương trình trở thành \( x^2 + x - 4 = 0 \). Tính nghiệm:
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}
\]
Không có nghiệm nguyên.

- Khi \( y = 2 \):
\[
y^4 + y^3 + y^2 + y = 16 + 8 + 4 + 2 = 30
\]
Vậy phương trình trở thành \( x^2 + x - 30 = 0 \). Tính nghiệm:
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 \pm 11}{2}
\]
Nghiệm nguyên là \( x = 5 \) và \( x = -6 \).

- Khi \( y = 3 \):
\[
y^4 + y^3 + y^2 + y = 81 + 27 + 9 + 3 = 120
\]
Vậy phương trình trở thành \( x^2 + x - 120 = 0 \). Tính nghiệm:
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 480}}{2} = \frac{-1 \pm 22}{2}
\]
Nghiệm nguyên là \( x = 10 \) và \( x = -11 \).

- Khi \( y = 4 \):
\[
y^4 + y^3 + y^2 + y = 256 + 64 + 16 + 4 = 340
\]
Vậy phương trình trở thành \( x^2 + x - 340 = 0 \). Tính nghiệm:
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 1360}}{2} = \frac{-1 \pm 37}{2}
\]
Nghiệm nguyên là \( x = 18 \) và \( x = -19 \).

Từ đây, chúng ta đã tìm ra một số cặp \( (x, y) \) thỏa mãn điều kiện:

1. \( (0, 0) \)
2. \( (-1, 0) \)
3. \( (5, 2) \)
4. \( (-6, 2) \)
5. \( (10, 3) \)
6. \( (-11, 3) \)
7. \( (18, 4) \)
8. \( (-19, 4) \)

Như vậy, các nghiệm nguyên cho phương trình \( x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y \) là:

- Với \( y = 0: (0, 0), (-1, 0) \)
- Với \( y = 2: (5, 2), (-6, 2) \)
- Với \( y = 3: (10, 3), (-11, 3) \)
- Với \( y = 4: (18, 4), (-19, 4) \)

Cảm ơn bạn đã đặt câu hỏi!