Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng mục một.

### A) Ba điểm B, C và D có thuộc (O) không? Vì sao?

- **Điểm A** thuộc đường tròn (O) tức là khoảng cách OA = R (R là bán kính của đường tròn).
- **Điểm B** là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d, do đó khoảng cách OB cũng bằng R, tức là B cũng thuộc đường tròn (O).
- **Điểm C** là điểm đối xứng với A qua O, do đó khoảng cách OC = OA = R, cho nên C cũng thuộc đường tròn (O).
- **Điểm D** là điểm đối xứng với B qua O, do đó khoảng cách OD = OB = R, tức là D cũng thuộc đường tròn (O).

Kết luận: **Ba điểm B, C và D đều thuộc (O)**.

### B) Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Để chứng minh ABCD là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các cạnh AB và CD vuông góc với nhau, và hai cạnh AD và BC vuông góc với nhau.

1. **Lập phương pháp tọa độ:**
- Giả sử O là gốc tọa độ (0,0), A có tọa độ \((x_1, y_1)\).
- Đường thẳng d đi qua O có phương trình dạng \(y = ax\).

2. **Tìm tọa độ B:**
- Để tìm điểm B (đối xứng với A qua d), ta cần tìm hình chiếu của A lên d và sử dụng nó để xác định B. Điều này cho thấy rằng AB vuông góc với d.

3. **Điểm C và D:**
- C là đối xứng của A qua O, tức là \(C = (-x_1, -y_1)\).
- D là đối xứng của B qua O, tức là D sẽ có tọa độ đối xứng với B.

4. **Chứng minh AB vuông góc với CD:**
- Vì AB vuông góc với d, mà d qua O, có nghĩa là đường thẳng OD cũng vuông góc với AB.
- Tương tự, CD cũng vuông góc với OB.

Kết luận: **Tứ giác ABCD là hình chữ nhật.**

### C) Chứng minh rằng C và D đối xứng với nhau qua d

Để chứng minh C và D đối xứng nhau qua d, ta cần chứng minh rằng đường thẳng nối C và D cũng vuông góc với d.

1. **Phân tích tọa độ C và D:**
- C có tọa độ \((-x_1, -y_1)\) và D sẽ có tọa độ mà ta tìm trong bước trên.

2. **Xét tính đối xứng:**
- B và A đối xứng nhau qua d do đó d là trung trực của đoạn AB.
- Điều này cũng đúng với C và D. Vậy từ các nét đối xứng, ta có thể kết luận rằng C và D đối xứng nhau qua d.

Kết luận: **C và D là hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng d.**