Để phân tích đa thức \((x^2 + x + 1)(x^2 + 3x + 1) + x^2\) thành nhân tử, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Mở rộng đa thức**: Tính tích \((x^2 + x + 1)(x^2 + 3x + 1)\).

Áp dụng công thức phân phối (lớp 2):
\[
(x^2 + x + 1)(x^2 + 3x + 1) = x^2(x^2 + 3x + 1) + x(x^2 + 3x + 1) + 1(x^2 + 3x + 1)
\]

Tính từng phần:
- \(x^2(x^2 + 3x + 1) = x^4 + 3x^3 + x^2\)
- \(x(x^2 + 3x + 1) = x^3 + 3x^2 + x\)
- \(1(x^2 + 3x + 1) = x^2 + 3x + 1\)

Cộng các kết quả lại:
\[
x^4 + 3x^3 + x^2 + x^3 + 3x^2 + x + x^2 + 3x + 1 = x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 4x + 1
\]

2. **Cộng thêm \(x^2\)**:
\[
x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 4x + 1 + x^2 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1
\]

3. **Kiểm tra tính khả thi của việc phân tích**: Đa thức \(x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1\) có thể phân tích bằng cách tìm nghiệm hoặc các hệ số. Chúng ta có thể thấy rằng nó có dạng tương tự như \((x^2 + 2x + 1)^2\).

Ta thực hiện phép khai triển:
\[
(x^2 + 2x + 1)^2 = (x^2 + 2x + 1)(x^2 + 2x + 1)
\]
\[
= x^4 + 2x^3 + x^2 + 2x^3 + 4x^2 + 2x + x^2 + 2x + 1 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1
\]

Như vậy, chúng ta có:
\[
x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = (x^2 + 2x + 1)^2
\]

Cuối cùng, đa thức đã cho phân tích thành nhân tử như sau:
\[
(x^2 + x + 1)(x^2 + 3x + 1) + x^2 = (x^2 + 2x + 1)^2
\]

Chúng ta cũng có thể viết lại thành:
\[
= (x + 1)^4
\]
Vậy kết quả cuối cùng là:
\[
(x + 1)^4
\]