Để chứng minh hai phân thức bằng nhau, ta có thể sử dụng định nghĩa phân thức:

Hai phân thức \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\) bằng nhau khi và chỉ khi \(a \cdot d = b \cdot c\) (với điều kiện \(b \neq 0\) và \(d \neq 0\)).

### a)
\[
\frac{3x}{2} = \frac{15xy}{10y}
\]
Chứng minh:

1. Tính \(3x \cdot 10y\) và \(2 \cdot 15xy\):
\[
3x \cdot 10y = 30xy
\]
\[
2 \cdot 15xy = 30xy
\]

2. So sánh:
\[
30xy = 30xy \quad \Rightarrow \quad \text{Hai phân thức bằng nhau.}
\]

### b)
\[
\frac{3x - 3y}{2y - 2x} = -\frac{3}{2}
\]
Chứng minh:

1. Tính \((3x - 3y) \cdot (-2)\) và \((2y - 2x) \cdot 3\):
\[
(3x - 3y) \cdot (-2) = -6x + 6y
\]
\[
(2y - 2x) \cdot 3 = 6y - 6x
\]

2. So sánh:
\[
-6x + 6y = 6y - 6x \quad \Rightarrow \quad \text{Hai phân thức bằng nhau.}
\]

### c)
\[
\frac{x^2 - x + 1}{x} = \frac{x^3 + 1}{x(x+1)}
\]
Chứng minh:

1. Tính \((x^2 - x + 1) \cdot (x(x + 1))\) và \((x^3 + 1) \cdot x\):
\[
(x^2 - x + 1) \cdot (x^2 + x) = x^4 - x^3 + x^2 - x + 1
\]
\[
(x^3 + 1) \cdot x = x^4 + x
\]

2. So sánh:
\[
x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = x^4 + x \quad \Rightarrow \quad -x^3 + x^2 - 2x + 1 = 0
\]
\[
\text{Chưa chắc chắn hai bên bằng nhau.}
\]

Kết luận:
- Phân thức a) và b) đã chứng minh đúng, nhưng c) cần kiểm tra kỹ hơn để xác định bằng nhau hay không.