Để tìm số tự nhiên \( n \) khác 0 sao cho \( n^3 - 1 \) là số nguyên tố, ta có thể tiến hành kiểm tra các giá trị của \( n \) từ 1 trở đi.

1. **Khi \( n = 1 \):**
\[
n^3 - 1 = 1^3 - 1 = 0 \quad \text{(không phải số nguyên tố)}
\]

2. **Khi \( n = 2 \):**
\[
n^3 - 1 = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7 \quad \text{(số nguyên tố)}
\]

3. **Khi \( n = 3 \):**
\[
n^3 - 1 = 3^3 - 1 = 27 - 1 = 26 \quad \text{(không phải số nguyên tố)}
\]

4. **Khi \( n = 4 \):**
\[
n^3 - 1 = 4^3 - 1 = 64 - 1 = 63 \quad \text{(không phải số nguyên tố)}
\]

5. **Khi \( n = 5 \):**
\[
n^3 - 1 = 5^3 - 1 = 125 - 1 = 124 \quad \text{(không phải số nguyên tố)}
\]

6. **Khi \( n = 6 \):**
\[
n^3 - 1 = 6^3 - 1 = 216 - 1 = 215 \quad \text{(không phải số nguyên tố)}
\]

7. **Khi \( n = 7 \):**
\[
n^3 - 1 = 7^3 - 1 = 343 - 1 = 342 \quad \text{(không phải số nguyên tố)}
\]

8. **Khi \( n = 8 \):**
\[
n^3 - 1 = 8^3 - 1 = 512 - 1 = 511 \quad \text{(không phải số nguyên tố)}
\]

9. **Khi \( n = 9 \):**
\[
n^3 - 1 = 9^3 - 1 = 729 - 1 = 728 \quad \text{(không phải số nguyên tố)}
\]

Tiếp tục như vậy cho đến một vài giá trị lớn hơn, nhưng rõ ràng từ các kiểm tra trên, số duy nhất mà cho kết quả là số nguyên tố là khi \( n = 2 \).

**Kết luận:** Số tự nhiên \( n \) khác 0 duy nhất thỏa mãn điều kiện là \( n = 2 \).