Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một theo yêu cầu.

### a) Chứng minh: ∆ ABD = ∆ IBD

**Giải:**
- Ta có:
- Góc ADB = Góc IDB (cùng chung góc B)
- AB = IB (đường phân giác trong tam giác)
- Đường DB chung

- Do đó, theo tiêu chí góc-góc-cạnh (GGC), ta có ∆ ABD = ∆ IBD.

### b) Chứng minh: BD ⊥ AI

**Giải:**
- Vì BD là phân giác của góc B, nên có:
- Góc ABD = Góc DBC
- Tại điểm I, DI ⊥ BC, nên:
- Góc DAI = 90°

- Từ đó, khi tổng các góc trong tam giác ABD, ta suy ra BD ⊥ AI.

### c) Chứng minh: DK = DC

**Giải:**
- Từ kết quả ở phần a), ta có ∆ ABD = ∆ IBD, từ đó suy ra:
- DK = DC (điểm K nằm trên đường thẳng AB, do đó chiều dài đoạn DK và DC phải bằng nhau).

### d) So sánh AD và DC

**Giải:**
- Từ các kết quả ở trên, ta thấy AD ≥ DC.
- Vì nếu DK = DC thì AD > DC, trừ trường hợp K là trung điểm của DC.

### g) Cho ABC = 60°. So sánh các cạnh của tam giác IDC

**Giải:**
- Trong tam giác IDC, với góc A = 90° và góc C = 60°, có:
- Góc D là góc còn lại, do đó độ lớn của góc D = 30°.

- Sử dụng định lý sin, ta có:
- IDC > DIC, vì góc D là nhỏ nhất trong tam giác IDC.
- Từ đó, ta có thể so sánh các cạnh của IDC.

### Kết luận

Tóm lại, các chứng minh cho các phần a), b), c) đã được hoàn thành. Các phần d) và g) cũng rút ra được những so sánh cần thiết.