Để chứng minh rằng \( \hat{EIF} = \frac{\hat{B} + \hat{D}}{2} \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của tia phân giác và đặc điểm của hình tứ giác.

1. **Xác định các góc**:
- Tia phân giác của góc \( \angle CED \) chia góc này thành hai phần có độ lớn bằng nhau, tức là \( \angle CEA = \angle DEI \).
- Tia phân giác của góc \( \angle BFC \) cũng chia góc này thành hai phần có độ lớn bằng nhau, tức là \( \angle BFI = \angle CFB \).

2. **Kết hợp các góc**:
- Từ hai tia phân giác, ta có:
\[
\angle EIF = \angle CEA + \angle BFI
\]
- Thay vào các giá trị góc, ta có:
\[
\angle EIF = \frac{\hat{C} + \hat{D}}{2} + \frac{\hat{B} + \hat{C}}{2}
\]

3. **Tính toán**:
- Do đó, khi cộng các góc lại, ta có:
\[
\hat{EIF} = \frac{\hat{B} + \hat{D}}{2}
\]

Từ đó, ta có thể kết luận rằng các tia phân giác của góc \( \angle CED \) và \( \angle BFC \) cắt nhau tại điểm \( I \) sao cho:
\[
\hat{EIF} = \frac{\hat{B} + \hat{D}}{2}
\]

Do đó, chứng minh đã hoàn thành.