Để chứng minh các yêu cầu bài toán, chúng ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### Phần a: Chứng minh hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A, B và OO' là đường trung trực

1. **Tính khoảng cách giữa hai tâm và bán kính:**
- Khoảng cách OO' = 13 cm
- Bán kính R của đường tròn (O) = 12 cm
- Bán kính r của đường tròn (O') = 5 cm

2. **Áp dụng định lý về vị trí của hai đường tròn:**
- Để hai đường tròn cắt nhau, ta cần thỏa mãn điều kiện:
\[
|R - r| < OO' < R + r
\]
- Tính:
- |R - r| = |12 - 5| = 7 cm
- R + r = 12 + 5 = 17 cm
- So sánh với khoảng cách OO':
- 7 < 13 < 17
- Vậy, điều kiện này thỏa mãn, tức là hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B.

3. **Chứng minh OO' là đường trung trực:**
- Trong một tam giác có hai cạnh bằng nhau, đường nối trung điểm của chúng sẽ vuông góc với cạnh còn lại và chia cạnh còn lại ra làm hai đoạn bằng nhau. Vậy, hai điểm A và B đều nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng OO'.
- Đường trung trực của đoạn thẳng OO' là tập hợp tất cả các điểm cách đều điểm O và O'. Do đó, đối với mọi điểm P thuộc đường tròn (O) và (O'), ta có:
\[
OA = OB \quad \text{và} \quad O'A = O'B
\]
- Điều này chứng tỏ rằng đường thẳng OO' là đường trung trực của đoạn AB.

### Phần b: Chứng minh AO là tiếp tuyến của đường tròn (O'; r)

1. **Để AO là tiếp tuyến của đường tròn (O'; r), ta cần chứng minh rằng OA vuông góc với OO' tại điểm A.**

2. **Tính khoảng cách giữa O và O':**
- Từ A, vẽ đường thẳng OA và O'A.
- Theo định lý Pytagore trong tam giác vuông OAO', ta có:
\[
OO' = OA^2 + O'A^2
\]

3. **Tính OA:**
- Biết rằng OA = R = 12 cm, O'A = r = 5 cm.
- Tính OA:
\[
(OO')^2 = OA^2 + O'A^2 \implies 13^2 = 12^2 + 5^2
\]
- Tính:
\[
169 = 144 + 25 = 169
\]
- Đúng, nên OA vuông góc với O'A tại điểm A.

Do đó, AO là tiếp tuyến của đường tròn (O') tại điểm A, và ta đã chứng minh xong yêu cầu của bài toán.

### Kết luận:
- Hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B với OO' là đường trung trực.
- Đoạn AO là tiếp tuyến của đường tròn (O') tại điểm A.