Cho tam giác vuông ABC, một đường thẳng d đi qua đỉnh A nhưng không cắt cạnh BC

Để giải bài toán này, ta sẽ chia thành hai phần theo yêu cầu.

### a) Chứng minh rằng \( BB' + CC' = B'C' \)

1. **Xét tam giác vuông ABC**: Giả sử \( \angle ABC = 90^\circ \).
2. **Vẽ đường thẳng d**: Đường thẳng d đi qua điểm A và song song với BC.
3. **Kẻ đường thẳng BB' và CC'**:
- \( BB' \) là đường thẳng vuông góc với d từ B.
- \( CC' \) là đường thẳng vuông góc với d từ C.

4. **Gọi B', C' là giao điểm của các đường thẳng BB' và CC' với đường thẳng d.**

5. **Xét tam giác BB'C**:
- Theo định lý Pitago, trong tam giác vuông \( BBC' \):
\[
BC'^2 = BB'^2 + B'C'^2
\]
- Tương tự cho tam giác vuông \( CCA' \):
\[
CC'^2 = B'C'^2 + C'A^2
\]

6. **Sử dụng định lý Pitago**:
- Cộng các phương trình trên ta có:
\[
BB'^2 + CC'^2 + B'C'^2 = B'C' = B'C' \quad (1)
\]
- Từ (1), ta thấy rằng:
\[
BB' + CC' = B'C'
\]

### b) Tìm vị trí của d để \( BB' + CC' \) lớn nhất

1. **Tối ưu hóa tổng**: Ta cần tối ưu hóa hàm số \( f(x) = BB' + CC' \) khi \( d \) di chuyển.
2. **Tâm lý học hình học**: Để tối đa hóa tổng độ dài, đường thẳng d sẽ phải nằm ở vị trí sao cho BB' và CC' lần lượt vuông góc và tái tạo lại các cạnh của tam giác vuông.

3. **Giải bằng phương pháp hình học**:
- Xuất phát từ A, vẽ d song song với BC. Khi đó, BB' và CC' sẽ đạt giá trị cực đại khi d song song với BC.
- Sử dụng định lý về đường vuông góc và khoảng cách, ta có:
\[
BB' + CC' \text{ cực đại khi } d \text{ song song với } BC
\]

### Kết luận
- Phần a) đã chứng minh \( BB' + CC' = B'C' \).
- Phần b) tìm được rằng vị trí của d để tối đa hóa \( BB' + CC' \) là khi d song song với cạnh BC của tam giác vuông ABC.