Cho 3 số tự nhiên a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh nếu a + b là một ước lẻ của a(b-c)² + b(a-c)² + c(a-b)² thì a + b là hợp số

----- Nội dung dịch tự động từ ảnh -----
Câu 1: a) (1,0 đ) Cho 3 số tự nhiên a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác.
CMR: nếu a + b là một ước lẻ của a(b-c)² + b(a-c)² + c(a-b)² thì a + b là hợp số.
b) (1,5 đ) Cho đa thức \( P(x) = x^4 + ax^2 + bx + c \) chia hết cho đa thức \( (x - 1) \). Tìm a, b, c.
c) (1,5 đ) Giải phương trình nghiệm nguyên: \( 8y^2 - 25 = 3xy + 5x \)

Câu 2: (5,0 đ) a) Giải phương trình \( \frac{x^4}{x^2 - 2} = 5x \)
b) Giải các hệ phương trình sau:
\[
\begin{align*}
x^2 + 1 & = \frac{2}{y} \\
y^2 + 1 & = \frac{2}{x}
\end{align*}
\]

Câu 3: (2,5 đ) a) Cho 2 số không âm a, b thỏa mãn \( a^2 + b^2 \leq a + b \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( S = 2023 + \left( \frac{a}{a+1} \right)^{2024} \)
b) Bác Ba vay 20.000.000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế. Trong một năm đầu bác chưa trả được nên số tiền lãi trong năm đầu được chuyển thành vốn để tính lãi năm sau. Sau 2 năm bác Ba phải trả là 23.540.000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm đầu? Biết rằng năm sau ngân hàng đã giảm 30% lãi suất.

Câu 4: (7,0) 1) Cho tam giác ABC vuông tại A, phấn giác BD. Hạ DE vuông góc với BC (E ∈ BC), gọi O là giao điểm của AE và BD. Chứng minh hai tam giác AOB và DOE đồng dạng.
2) Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC vé hai tia Bx và Cy vuông góc với BC. Lấy điểm I trên cạnh BC. Dương thẳng qua A và vuông góc với AI cắt Bx và Cy lần lượt tại D và E. a) CMR: góc DIE bằng 90 độ.
b) Gọi M là giao điểm của AB và DI; N là giao điểm của AC và EI. Chứng minh MN // BC
3) Cho tam giác ABC cân tại A, AH và BK là đường cao. Chứng minh rằng:
\[
\frac{1}{BK^2} = \frac{1}{BC^2} + \frac{1}{4AH^2}
\]

Câu 5: (1,5) Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 học sinh A, B, C, D, E, F vào một ghế dài sao cho:
a) 6 học sinh ngồi bất kỳ; b) F luôn ngồi ở hai đầu ghế.