Tìm các hàm số f: f :(1;+∞)→ R thỏa mãn điều kiện:

Để tìm các hàm số \( f: (1; +\infty) \to \mathbb{R} \) thỏa mãn điều kiện

\[
f(x) - f(y) = (y - x)f(xy) \quad \text{với mọi } x, y > 1,
\]

ta có thể phân tích và giải phương trình này.

1. **Thay thế \( y = x \)**:
\[
f(x) - f(x) = (x - x)f(x^2) \implies 0 = 0.
\]
Điều này không cung cấp thông tin mới.

2. **Thay thế \( y = kx \) với \( k > 1 \)**:
\[
f(x) - f(kx) = (kx - x)f(kx^2) \quad \text{với } k > 1.
\]
Hàm \( f(kx) \) có thể biểu diễn theo \( f(x) \) và \( f(kx^2) \).

3. **Tìm một dạng cụ thể cho \( f(x) \)**:
Giả sử \( f(x) = c \ln x \) với \( c \) là một hằng số. Thay vào điều kiện trên:
\[
c \ln x - c \ln y = (y - x)(c \ln(xy)).
\]
Đơn giản hóa:
\[
c (\ln x - \ln y) = (y - x)(c (\ln x + \ln y)).
\]
Hủy \( c \) (trừ khi \( c = 0 \)):
\[
\ln \frac{x}{y} = (y - x) \left( \ln x + \ln y \right).
\]

4. **Kiểm tra hàm số đặc biệt**:
Thử với \( f(x) = 0 \):
\[
0 - 0 = (y - x) \cdot 0 \implies 0 = 0.
\]
Điều này thỏa mãn.

5. **Tìm các hàm không phải hằng số**:
Từ bước 3, mỗi lựa chọn \( c \) đều dẫn đến hàm số tương tự hình thức \( c \ln x \). Kiểm tra tính nhất quán của tất cả các đại lượng \( c \) khác nhau dẫn đến các hàm định nghĩa tương tự.

Kết luận, các hàm số \( f(x) = c \ln x \) với \( c \in \mathbb{R} \) (có thể là 0) là các hàm thỏa mãn điều kiện trên.