### 1. Tam giác AEF

#### a) Chứng minh ΔAEF cân:
- Ta có ΔABC cân tại A, nghĩa là AB = AC.
- Theo giả thiết, BE = CF.
- Trong tam giác AEF, ta có AE = AB + BE và AF = AC + CF.
- Thay vào giả thiết để có:
- AE = AB + BE = AB + CF = AC + CF = AF.
- Do đó, AE = AF, suy ra ΔAEF cân tại A.

#### b) Chứng minh ΔEBH = ΔFCK:
- Vẽ BH vuông góc với AE và CK vuông góc với AF, từ đó ta có:
- ΔEBH và ΔFCK đều có 1 góc vuông (HB vuông góc với AE và CK vuông góc với AF).
- Ta có:
1. EB = FC (theo giả thiết).
2. AE = AF (đã chứng minh ở trên).
3. Độ dài BH và CK là chung cho hai tam giác này.

- Từ đó, theo tiêu chí (góc - cạnh - góc), ta thấy ΔEBH ≅ ΔFCK.
- Do đó, ΔEBH = ΔFCK.

#### c) Tam giác IBC là tam giác gì?
- Theo lý thuyết dòng sáng, bên trong ΔEBH và ΔFCK có chung điểm I. Vì thế, các đường thẳng HB và KC cắt nhau tại I.
- Ta có:
- ΔEBH và ΔFCK là hai tam giác bằng nhau, do đó các góc cơ bản của tam giác IBC là bằng nhau.
- Do đó, tam giác IBC là tam giác đều.

### 2. Tam giác OAB

#### a) Chứng minh HA = HB, OA = OB:
- Theo định nghĩa của tia Ox là tia phân giác, nên ∠mOH = ∠nOH.
- Vì OH vuông góc với AB, nên HA = HB (hai đoạn thẳng cùng dài).
- Cùng nguyên lý trên với ∠mOH = ∠nOH, ta suy ra OA = OB.

#### b) Tính số đo các góc của tam giác OAB:
- Từ cái đã có: ∠mOn = 100°.
- Do tia Ox là tia phân giác, ta có:
- ∠mOH = ∠nOH = 50°.
- Kết hợp lại:
- Số đo của góc OAB (hoặc OBA) sẽ là 50°.
- Số đo đó cho ta biết rằng OAB có tổng ba góc luôn bằng 180°.

- Vậy:
- ∠OAB = ∠OBA = 50° và ∠AOB = 80°.

#### c) Chứng minh tam giác ABC đều:
- Theo giả thiết, với HBC = 60°, kèm theo đó ∠OAB = 50°.
- Do đó, các góc trong tam giác ABC đều bằng nhau.

- Điều này cho ra rằng tam giác ABC là đều vì:
- AG = GB = CG (suy ra từ định nghĩa của tam giác đều).

#### d) Chứng minh AB = OE:
- Theo giả thiết BE = BO, và đã có AB = OA.
- Từ đó:
- Ta có hình dáng và kết cấu đồng nhất.
- Bằng chứng AB = OA = OE (tính chất của tam giác đều).

Dựa theo các giả thiết và bằng chứng đã trình bày, mọi yêu cầu đều được giải quyết.