Để phân tích đa thức \((x-1)(x-2)(x+4)(x+5)+1\) thành nhân tử, trước tiên chúng ta sẽ tính giá trị của biểu thức này trước khi tìm nhân tử.

Bước 1: Mở rộng biểu thức \((x-1)(x-2)(x+4)(x+5)\)

Ta có thể thực hiện mở rộng từng cặp một:

- Đầu tiên, mở rộng \((x-1)(x-2)\):

\[
(x-1)(x-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2
\]

- Sau đó, mở rộng \((x+4)(x+5)\):

\[
(x+4)(x+5) = x^2 + 5x + 4x + 20 = x^2 + 9x + 20
\]

Bây giờ, ta cần nhân hai kết quả vừa tìm được:

\[
(x^2 - 3x + 2)(x^2 + 9x + 20)
\]

Áp dụng quy tắc phân phối, chúng ta cần nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với toàn bộ đa thức thứ hai:

- Nhân \(x^2\) với \(x^2 + 9x + 20\):

\[
x^2(x^2 + 9x + 20) = x^4 + 9x^3 + 20x^2
\]

- Nhân \(-3x\) với \(x^2 + 9x + 20\):

\[
-3x(x^2 + 9x + 20) = -3x^3 - 27x^2 - 60x
\]

- Nhân \(2\) với \(x^2 + 9x + 20\):

\[
2(x^2 + 9x + 20) = 2x^2 + 18x + 40
\]

Bây giờ, chúng ta cộng tất cả các kết quả lại với nhau:

\[
x^4 + 9x^3 + 20x^2 - 3x^3 - 27x^2 - 60x + 2x^2 + 18x + 40
\]

Gộp các hạng tử tương ứng:

- Hạng tử \(x^4\): \(x^4\)
- Hạng tử \(x^3\): \(9x^3 - 3x^3 = 6x^3\)
- Hạng tử \(x^2\): \(20x^2 - 27x^2 + 2x^2 = -5x^2\)
- Hạng tử \(x\): \(-60x + 18x = -42x\)
- Hạng tử tự do: \(40\)

Ta có:

\[
(x-1)(x-2)(x+4)(x+5) = x^4 + 6x^3 - 5x^2 - 42x + 40
\]

Bước 2: Thêm 1:

\[
x^4 + 6x^3 - 5x^2 - 42x + 40 + 1 = x^4 + 6x^3 - 5x^2 - 42x + 41
\]

Bước 3: Tìm cách phân tích thành nhân tử:

Ta sử dụng phương pháp thử nghiệm hoặc công cụ để tìm nghiệm. Ta có thể thử từng giá trị nguyên cho \(x\):

- Nếu \(x = 1\): \(1 + 6 - 5 - 42 + 41 = 1 \neq 0\)
- Nếu \(x = -1\): \(-1 + 6 - 5 + 42 + 41 = 83 \neq 0\)
- Nếu \(x = 2\): \(16 + 48 - 20 - 84 + 41 = 1 \neq 0\)
- Nếu \(x = -2\): \(16 - 48 - 20 + 84 + 41 = 73 \neq 0\)

Tiếp theo, ta có thể sử dụng phương pháp chia đa thức để tìm nghiệm hoặc tính toán với các công cụ hỗ trợ.

Kết quả cuối cùng có thể khá phức tạp, nhưng \((x^4 + 6x^3 - 5x^2 - 42x + 41)\) có thể không phân tích đơn giản bằng các hạng tử căn bản.

Nếu không thể tìm ra nhân tử đơn giản, ta có thể cần đến các số phức hoặc không thực nữa để phân tích sâu sắc hơn. Hy vọng câu trả lời này đã giúp bạn hiểu rõ quy trình phân tích một đa thức thành nhân tử.