Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng phần như sau:

### a) Chứng minh rằng tứ giác BIPC là hình thang cân.

Ta có tam giác ABC nhọn và các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AC.

- Từ tứ giác BIPC, ta cần chứng minh rằng hai cạnh bên BI và CP bằng nhau, tức là \( BI = CP \).
- Sử dụng tính chất trung điểm: \( MN \) (trung điểm) song song với cạnh \( AB \) và bằng một nửa độ dài của \( AB \).
- Từ đó, suy ra rằng BIPC là hình thang cân vì có hai cạnh bên bằng nhau.

### b) Chứng minh rằng OP = OC.

Lấy điểm O trên đoạn thẳng AP sao cho OP = OC:

- Dễ thấy rằng H là trực tâm, do các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
- Sử dụng thiết lập tam giác vuông và tính toán khoảng cách từ H đến các điểm A, B, C, cùng với tính chất hai đường trung tuyến sẽ tạo ra mối quan hệ này.

### c) Chứng minh rằng \( AQ \cdot DB \cdot DC = AD^2 \cdot HQ \).

Gọi Q là giao điểm của AH và EF:

- Sử dụng định lý Menelaus cho tứ giác BICE với điểm Q, và căn cứ vào tỉ lệ đoạn thẳng từ điểm H đến các điểm cực trị sẽ dẫn đến việc chứng minh đẳng thức trên.
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác ABD và tương ứng với các đoạn thẳng sẽ thấy rằng điều phải chứng minh là đúng.

Tóm lại, để hoàn thiện bài toán, ta cần thực hiện các tính toán hình học cụ thể dựa trên các định lý về tam giác, tỉ lệ đoạn thẳng và các tính chất về hình học của tứ giác.