Để tính độ dài của cạnh \( AD \) và giá trị của \( \cos \angle ABC \) trong hình bình hành \( ABCD \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình bình hành.

**1. Tính cạnh \( AD \):**

Trong hình bình hành, các cạnh đối diện có độ dài bằng nhau, do đó \( AB = CD \) và \( AD = BC \).

Ta đã biết rằng:
- \( AB = 4 \)

Do đó:
\[
AD = AB = 4
\]

**2. Tính \( \cos \angle ABC \):**

Để tính \( \cos \angle ABC \), ta sẽ sử dụng định lý Cosine trong tam giác \( ABC \). Định lý này phát biểu rằng:

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC
\]

Trong đó:
- \( AC = 4 \)
- \( AB = 4 \)
- \( BC = AD = 4 \)

Thay các giá trị vào công thức:

\[
4^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos \angle ABC
\]

\[
16 = 16 + 16 - 32 \cdot \cos \angle ABC
\]

Giải phương trình trên:

\[
16 = 32 - 32 \cdot \cos \angle ABC
\]
\[
32 \cdot \cos \angle ABC = 32 - 16
\]
\[
32 \cdot \cos \angle ABC = 16
\]
\[
\cos \angle ABC = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}
\]

**Kết luận:**
- \( AD = 4 \)
- \( \cos \angle ABC = \frac{1}{2} \)

Vậy \( AD = 4 \) và \( \cos \angle ABC = \frac{1}{2} \), điều này cho thấy góc \( ABC \) là \( 60^\circ \).