Để giải phương trình \(2|x - 3| + |2x + 5| = 11\), ta sẽ xác định các điểm phân tách và giải theo từng trường hợp.

1. **Tìm các điểm phân tách:**
- \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)
- \(2x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{2} = -2.5\)

Các điểm phân tách chia miền thành các khoảng:
- \( (-\infty, -2.5) \)
- \( [-2.5, 3) \)
- \( [3, +\infty) \)

2. **Giải từng trường hợp:**

**Trường hợp 1: \(x < -2.5\)**

Ở miền này, ta có:
\[
|x - 3| = 3 - x, \quad |2x + 5| = -2x - 5
\]
Thay vào phương trình:
\[
2(3 - x) + (-2x - 5) = 11 \Longrightarrow 6 - 2x - 2x - 5 = 11 \Longrightarrow -4x + 1 = 11
\]
Giải phương trình:
\[
-4x = 10 \Longrightarrow x = -2.5
\]

Tuy nhiên, \(x = -2.5\) không thuộc miền này.

**Trường hợp 2: \(-2.5 \leq x < 3\)**

Ở miền này, ta có:
\[
|x - 3| = 3 - x, \quad |2x + 5| = 2x + 5
\]
Thay vào phương trình:
\[
2(3 - x) + (2x + 5) = 11 \Longrightarrow 6 - 2x + 2x + 5 = 11 \Longrightarrow 11 = 11
\]

Điều này đúng cho mọi \(x\) trong khoảng \([-2.5, 3)\).

**Trường hợp 3: \(x \geq 3\)**

Ở miền này, ta có:
\[
|x - 3| = x - 3, \quad |2x + 5| = 2x + 5
\]
Thay vào phương trình:
\[
2(x - 3) + (2x + 5) = 11 \Longrightarrow 2x - 6 + 2x + 5 = 11 \Longrightarrow 4x - 1 = 11
\]
Giải phương trình:
\[
4x = 12 \Longrightarrow x = 3
\]

Điều này đúng cho \(x = 3\).

3. **Kết quả:**

Giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình là:
\[
x \in [-2.5, 3]
\]

Vậy, nghiệm cuối cùng là:
\[
x \in [-2.5, 3]
\]