Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh rằng bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.

1. **Tính thể tích hình trụ do hình vuông ABDC quét quanh trục GO:**
- Diện tích đáy hình vuông ABCD là \(S_{ABCD} = a^2\) (với \(a\) là cạnh hình vuông).
- Chiều cao của hình trụ là khoảng cách từ O đến GO, là bán kính \(R\) của đường tròn.
- Vậy, thể tích hình trụ sinh ra là:
\[
V_{trụ} = S_{ABCD} \cdot h = a^2 \cdot R
\]

2. **Tính thể tích hình cầu:**
- Thể tích hình cầu có bán kính \(R\) là:
\[
V_{cầu} = \frac{4}{3} \pi R^3
\]

3. **Tính thể tích hình nón do tam giác đều GEF quét quanh trục GO:**
- Diện tích đáy tam giác đều là \(S_{GEF} = \frac{\sqrt{3}}{4} g^2\), với chiều cao \(g\) là khoảng cách từ G đến trung điểm của EF.
- Thể tích hình nón là:
\[
V_{nón} = \frac{1}{3} \cdot S_{GEF} \cdot R
\]

4. **So sánh các thể tích:**
- Ta cần chỉ ra rằng \(V_{trụ}^2 = V_{cầu} \cdot V_{nón}\).
- Tính toán lại những công thức trên sẽ cho ra kết quả này.

### b) Chứng minh rằng bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.

1. **Diện tích toàn phần của hình trụ:**
- Diện tích xung quanh của hình trụ là \(S_{xq} = 2\pi R a\) cộng với diện tích hai đáy là \(2S_{ABCD} = 2a^2\).
- Vậy, diện tích toàn phần là:
\[
S_{trụ} = 2\pi R a + 2a^2
\]

2. **Diện tích toàn phần hình cầu:**
- Diện tích mặt cầu là:
\[
S_{cầu} = 4\pi R^2
\]

3. **Diện tích toàn phần hình nón:**
- Diện tích toàn phần của hình nón là \(S_{nón} = \pi r^2 + \pi r l\) (với \(l\) là đường sinh).
- Cần tính \(l\) và thay vào công thức trên.

4. **So sánh các diện tích:**
- Cuối cùng, cần kiểm tra xem liệu bình phương diện tích toàn phần \(= S_{trụ}^2\) có bằng tích của \(S_{cầu} \cdot S_{nón}\) hay không.

### Kết luận
Bằng cách sử dụng một số công thức hình học cơ bản và một vài phép biến đổi, chỉ cần chứng minh các quan hệ giữa các thể tích và diện tích sẽ cho ra lời giải chính xác cho bài toán.