Cho tam giác ABC cân tại A, M thuộc BC kẻ MD//AB

Để chứng minh tứ giác \( AIED \) là hình thang cân, ta sẽ chứng minh rằng hai cạnh không song song \( AE \) và \( ID \) có độ dài bằng nhau.

1. **Gọi các điểm và định nghĩa**:
- \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \) với \( AB = AC \).
- \( D \) thuộc \( AC \) và \( E \) thuộc \( AB \) sao cho \( MD \parallel AB \) và \( ME \parallel AC \).
- \( I \) là điểm sao cho \( DE \) là trung trực của \( MI \).

2. **Tính chất của các đường song song**:
- Vì \( MD \parallel AB \) và \( ME \parallel AC \), theo tính chất của tam giác cân, \( \Delta ABC \) có các đường trung bình tạo ra các cặp cạnh song song và bằng nhau.
- Do đó, \( DE \) là trung trực của đoạn thẳng \( MI \) nên nó chia \( MI \) thành hai đoạn bằng nhau, tức là \( MD = ME \).

3. **Xét tứ giác \( AIED \)**:
- Vì \( D \) thuộc \( AC \) và \( E \) thuộc \( AB \) và \( MI \) được chia đều bởi \( DE \), chúng ta có \( AE = ID \) từ tính chất của các đường trung trực.
- Từ đó, ta có \( AE = ID \).

4. **Kết luận**:
- Do \( AE = ID \) và tứ giác \( AIED \) có hai cạnh đối diện bằng nhau, nên \( AIED \) là hình thang cân.

Tóm lại, tứ giác \( AIED \) là hình thang cân vì có hai bên đối diện bằng nhau. Do đó, đã hoàn thành yêu cầu chứng minh.