Tìm giá trị nguyên của x để (x - 8)/(x - 3) có giá trị lớn nhất

Để tìm giá trị nguyên của \( x \) sao cho hàm số \( \frac{x - 8}{x - 3} \) có giá trị lớn nhất, chúng ta tiến hành phân tích hàm số này.

Ta có thể viết lại hàm số:

\[
y = \frac{x - 8}{x - 3}
\]

Ta có thể tìm giới hạn của hàm này khi \( x \) tiến tới các giá trị cực trị:

1. **Tìm giới hạn khi \( x \) tiến tới 3:**
- Khi \( x \to 3, y \to -\infty \).

2. **Tìm giới hạn khi \( x \to +\infty\) và \( x \to -\infty\):**
- Khi \( x \to +\infty, y \to 1 \).
- Khi \( x \to -\infty, y \to 1 \).

Để tìm giá trị lớn nhất trong khoảng hợp lệ, ta sẽ đi tìm đạo hàm của hàm số này.

Tính đạo hàm:

\[
y' = \frac{(x - 3) \cdot 1 - (x - 8) \cdot 1}{(x - 3)^2} = \frac{x - 3 - x + 8}{(x - 3)^2} = \frac{5}{(x - 3)^2}
\]

Hàm số \( y' = \frac{5}{(x-3)^2} \) luôn dương với mọi \( x \neq 3 \), nghĩa là hàm số \( y \) là một hàmIncreasing. Do đó, hàm số sẽ đạt giá trị lớn nhất khi \( x \) tiến tới một giá trị lớn nhất trong miền mà hàm số này xác định.

Từ đó, ta thấy hàm số sẽ có giá trị lớn nhất gần giá trị \( x = 3 \) và khi \( x \) lớn hơn 3. Ta có thể kiểm tra một vài giá trị nguyên của \( x \):

- Với \( x = 4 \):
\[
y = \frac{4 - 8}{4 - 3} = \frac{-4}{1} = -4
\]
- Với \( x = 5 \):
\[
y = \frac{5 - 8}{5 - 3} = \frac{-3}{2} = -1.5
\]
- Với \( x = 6 \):
\[
y = \frac{6 - 8}{6 - 3} = \frac{-2}{3} \approx -0.67
\]
- Với \( x = 7 \):
\[
y = \frac{7 - 8}{7 - 3} = \frac{-1}{4} = -0.25
\]
- Với \( x = 8 \):
\[
y = \frac{8 - 8}{8 - 3} = \frac{0}{5} = 0
\]
- Với \( x = 9 \):
\[
y = \frac{9 - 8}{9 - 3} = \frac{1}{6} \approx 0.17
\]

Như vậy ta thấy hàm số gia tăng và giá trị lớn nhất nguyên của \( x \) nhằm đạt giá trị lớn nhất sẽ là \( x = 8 \), đồng thời để giá trị hàm tiến tới 1 khi \( x \) rất lớn.

Vậy giá trị nguyên của \( x \) để hàm số \( \frac{x - 8}{x - 3} \) đạt giá trị lớn nhất gần với 1 và dương nhất là:

**Giá trị nguyên của x là: 8.**