Để giải bài toán này, ta thực hiện từng phần theo yêu cầu:

### 1. Xác định vị trí tương ứng của (O) và (O')
Giả sử điểm C nằm trên đường tròn (O). Thì theo định nghĩa, O là tâm của đường tròn (O) và O' là tâm của đường tròn có đường kính OA. Do đó, O' nằm trên đường thẳng nối O và A.

### 2. Giải thích điều kiện AB cắt (O') tại C
Nếu AB cắt đường tròn (O') tại điểm C khác A, điều này có nghĩa rằng C là điểm giao của đường thẳng AB với đường tròn (O'), tức là C nằm trên đường tròn này.

### 3. Chứng minh C là trung điểm của AB
Để chứng minh rằng C là trung điểm của đoạn AB, ta sử dụng định lý về các điểm đối xứng trong hình học. Chúng ta có thể chứng minh hai tam giác ACO và ABO là bằng nhau, từ đó suy ra AC = BC. Nếu AC = BC thì C là trung điểm của đoạn AB.

### 4. Chứng minh ACO = ABO và OC // OB
Dễ dàng thấy tam giác ACO và ABO có các cạnh tương ứng bằng nhau (AO = AO, OC = OB) và góc ACO = góc ABO. Từ đó, theo định lý về tam giác bằng nhau, ta có ACO = ABO.

Như vậy, ta đã chứng minh được cả ba yêu cầu của bài toán.