Để giải hệ phương trình này, chúng ta cần biến đổi và sắp xếp chúng thành dạng dễ xử lý hơn.

Hệ phương trình là:

1. \( x^2 + y^2 + 4y + 13 = 6x \)
2. \( x^2 + y^2 + 17 = 2x - 8y \)
3. \( x^2 + y^2 + 45 = 12y - 6x \)
4. \( 4x^2 + 9y^2 + 2 = 4x + 6y \)

Bước đầu tiên là biến đổi từng phương trình để có dạng chuẩn.

### Phương trình 1
\( x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13 = 0 \)

### Phương trình 2
\( x^2 + y^2 - 2x + 8y + 17 = 0 \)

### Phương trình 3
\( x^2 + y^2 + 6x - 12y + 45 = 0 \)

### Phương trình 4
\( 4x^2 + 9y^2 - 4x - 6y + 2 = 0 \)

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm một cách giải cho hệ phương trình này. Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để giải.

Tuy nhiên, do hệ này khá phức tạp, một phương pháp tiếp cận hiệu quả là sử dụng điều kiện \( x\) và \( y\) ra từ phương trình đầu tiên và thế vào các phương trình còn lại.

### Giải hệ phương trình làm việc
Từ phương trình 1 hoặc 2, ta có thể biểu diễn y tùy thuộc vào x (hoặc ngược lại) và thế vào các phương trình còn lại để tìm giá trị cụ thể.

#### 1. Giải phương trình 1
Ta rút gọn lại:
\[
x^2 - 6x + y^2 + 4y + 13 = 0
\]
Tái sắp xếp:
\[
x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 0 \\
(x-3)^2 + (y+2)^2 = 0
\]
Đối với phương trình trên, ta thấy rằng \( (x-3)^2 + (y+2)^2 = 0 \) chỉ đạt được khi:
\[
x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \\
y + 2 = 0 \Rightarrow y = -2
\]

### Tham số x, y mà ta có:
\( x = 3, y = -2 \)

#### 2. Kiểm tra các phương trình còn lại
Chúng ta cần kiểm tra xem giá trị này có thỏa mãn các phương trình còn lại không.

**Phương trình 2**:
\[
x^2 + y^2 + 17 = 2x - 8y \\
3^2 + (-2)^2 + 17 = 2*3 - 8*(-2) \\
9 + 4 + 17 = 6 + 16 \\
30 = 30
\]

**Phương trình 3**:
\[
x^2 + y^2 + 45 = 12y - 6x \\
3^2 + (-2)^2 + 45 = 12*(-2) - 6*3 \\
9 + 4 + 45 = -24 - 18 \\
58 = -42 \text{ (não đúng)}
\]

**Phương trình 4**:
\[
4x^2 + 9y^2 + 2 = 4x + 6y \\
4*3^2 + 9*(-2)^2 + 2 = 4*3 + 6*(-2) \\
4*9 + 9*4 + 2 = 12 - 12 \\
36 + 36 + 2 = 0 \text{ (não đúng)}
\]

Dựa theo kiểm tra của các phương trình, chỉ có phương trình đầu tiên thỏa mãn.

### Kết luận
Kết quả duy nhất mà chúng ta thu được là:
\[ (x, y) = (3, -2) \]

Tuy nhiên, cần còn xem lại các phương trình còn lại để đảm bảo không có nghiệm nào khác tồn tại.