Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết.

**a) Tứ giác MNCD là hình gì? Vì sao?**

Tứ giác MNCD có các đỉnh là M, N, C, và D. Để chứng minh rằng tứ giác này là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các cạnh MN và CD song song, cũng như cạnh MC và ND song song và đều vuông góc với nhau:

- Đầu tiên, vì AD là cạnh đáy của hình bình hành ABCD, nên CD cũng là cạnh đáy. AD = 2AB đã cho, do đó góc BAD = góc ADC.
- M là trung điểm của AD, điều này có nghĩa là MB = MD.
- Hơn nữa, do MF vuông góc với CE và BC là một cạnh của hình bình hành nên MN vuông góc với CD tại điểm N.

Dễ dàng thấy rằng MN song song với CD, và MC vuông góc với ND. Do đó, nhóm ba cạnh biểu diễn mô hình hình chữ nhật. Từ đó, chúng ta có thể khẳng định rằng tứ giác MNCD là hình chữ nhật.

**b) Kẻ EH//AD (H thuộc MN). Chứng minh EH = NC. Tam giác EMC là tam giác gì? Vì sao?**

Nếu EH // AD, thì EH cũng sẽ song song với CD do AD // CD (tính chất của hình bình hành). Khi đó, bởi tính chất của hai đường thẳng song song, ta có được:

- NC = EH (theo định lý về cạnh song song trong tam giác).

Về tam giác EMC, nó là tam giác vuông tại E vì M là trung điểm của AD (cạnh đáy) và EM là đường cao từ M xuống cạnh CE. Do đó, EM vuông góc với CE. Điều này khiến EMC là tam giác vuông tại E.

**c) Chứng minh BAD = 2AEM.**

Để chứng minh rằng diện tích tam giác BAD bằng 2 lần diện tích tam giác AEM, ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác:

1. Diện tích tam giác BAD:
- Diện tích = 1/2 * AB * AD = 1/2 * AB * (2AB) = AB^2.

2. Diện tích tam giác AEM:
- Tam giác AEM cũng có cùng chiều cao là AM (đoạn từ A đến dòng song song chứa E). Suy ra, AM = (1/2)AD = AB.
- Do đó diện tích tam giác AEM = 1/2 * AB * AM = 1/2 * AB * AB = (1/2)AB^2.

Kết hợp lại, ta có:

- Diện tích BAD = AB^2 = 2 * (1/2 * AB^2) = 2 * diện tích AEM.

Vậy chứng minh được rằng BAD = 2AEM.

Tóm lại, thông qua các phân tích trên, chúng ta đã chứng minh các đặc điểm của hình học trong đề bài và đưa ra các kết luận rõ ràng.