Để giải bài toán, ta cần tìm n ∈ N sao cho \(5n\) chia hết cho \(n + 2\). Điều này có thể được diễn đạt bằng phương trình sau:

\[
5n \equiv 0 \pmod{n + 2}
\]

Điều này có nghĩa là \(5n\) là bội của \(n + 2\). Ta có thể viết lại điều kiện này dưới dạng sau:

\[
5n = k(n + 2) \quad (\text{với } k \text{ là một số nguyên})
\]

Rút gọn phương trình, ta được:

\[
5n = kn + 2k \implies (5 - k)n = 2k
\]

Từ đây, ta có thể biểu diễn n như sau:

\[
n = \frac{2k}{5 - k}
\]

Để n là một số nguyên, mẫu số \(5 - k\) phải chia hết cho tử số \(2k\). Điều này có thể diễn ra khi \(5 - k\) là một ước của \(2k\).

Ta sẽ xem xét một số giá trị của k:

1. \(k = 1\):
\[
n = \frac{2 \cdot 1}{5 - 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad (\text{không là số nguyên})
\]

2. \(k = 2\):
\[
n = \frac{2 \cdot 2}{5 - 2} = \frac{4}{3} \quad (\text{không là số nguyên})
\]

3. \(k = 3\):
\[
n = \frac{2 \cdot 3}{5 - 3} = \frac{6}{2} = 3 \quad (\text{số nguyên})
\]

4. \(k = 4\):
\[
n = \frac{2 \cdot 4}{5 - 4} = \frac{8}{1} = 8 \quad (\text{số nguyên})
\]

5. \(k = 5\):
Ta thấy mẫu số sẽ trở thành 0, không hợp lệ.

Ta kiểm tra 2 giá trị n mà chúng ta tìm được:

- Với \(n = 3\):
\[
n + 2 = 5 \quad \Rightarrow \quad 5n = 15 \quad \text{và } 15 \mod 5 = 0 \quad (\text{chia hết})
\]

- Với \(n = 8\):
\[
n + 2 = 10 \quad \Rightarrow \quad 5n = 40 \quad \text{và } 40 \mod 10 = 0 \quad (\text{chia hết})
\]

Vậy các giá trị của n ∈ N thoả mãn điều kiện là \(n = 3\) và \(n = 8\).