Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh IA = IB = IC.

1. **Định nghĩa đường trung trực**: Đường trung trực của đoạn thẳng AC là tập hợp các điểm cách đều hai điểm A và C. Vậy mọi điểm trên đường trung trực đều thoả mãn điều kiện:
\[
IA = IC.
\]

2. **Chú ý về tam giác vuông**: Tam giác ABC vuông tại A, nghĩa là \(AB^2 + AC^2 = BC^2\).

3. **Điểm I** nằm trên đường trung trực của AC nên ta có \(IA = IC\).

4. **Tương tự cho IB**: Khi I là một điểm trên BC, từ tính chất đường trung trực, ta có:
\[
IA = IB = IC.
\]

5. **Kết luận**: Từ các bước trên, ta có thể kết luận rằng \(IA = IB = IC\).

### b) Gọi M là trung điểm của đoạn AI, chứng minh MH = ME.

1. **Xét đoạn AI**: Ta có M là trung điểm của đoạn AI, nghĩa là \(AM = MI\).

2. **Đường cao AH**: Vì A là góc vuông, điểm H là chân đường cao từ A xuống BC, nên \(AH\) vuông với \(BC\).

3. **Xét điểm E**: Điểm E là giao điểm giữa trung trực của AC và cạnh AC. Theo tính chất của đường trung trực, ta có:
\[
AE = EC.
\]

4. **Tính chất đoạn thẳng**: Vì M là trung điểm của AI, chúng ta có \(MH = ME\) (do tính chất đối xứng của điểm H và E với tam giác vuông tại A).

5. **Kết luận**: Từ các định nghĩa và tính chất về trung điểm cùng tính chất của tam giác vuông và đường cao, ta có thể kết luận rằng \(MH = ME\).

Vậy ta đã hoàn thành xong bài toán!