Để giải phương trình \(x^2 + 8y^2 - 4xy + 6x - 8y + 10 = 0\), chúng ta có thể coi nó là một phương trình bậc hai đối với \(x\):

\[
x^2 - 4xy + 6x + (8y^2 - 8y + 10) = 0
\]

Ta xem nghiệm của phương trình bậc hai này. Phương trình có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), trong đó:

- \(a = 1\)
- \(b = -4y + 6\)
- \(c = 8y^2 - 8y + 10\)

Để phương trình này có nghiệm thực, điều kiện cần thỏa mãn là delta (Δ) không âm, tức là:

\[
\Delta = b^2 - 4ac \geq 0
\]

Tính \(\Delta\):

\[
\Delta = (-4y + 6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8y^2 - 8y + 10)
\]

Tính \(b^2\):

\[
(-4y + 6)^2 = 16y^2 - 48y + 36
\]

Tính \(4ac\):

\[
4 \cdot 1 \cdot (8y^2 - 8y + 10) = 32y^2 - 32y + 40
\]

Giờ ta thay vào biểu thức delta:

\[
\Delta = 16y^2 - 48y + 36 - (32y^2 - 32y + 40)
\]

Tính toán \(\Delta\):

\[
\Delta = 16y^2 - 48y + 36 - 32y^2 + 32y - 40
\]
\[
\Delta = -16y^2 - 16y - 4
\]
\[
\Delta = -4(4y^2 + 4y + 1)
\]

Ta quan sát rằng \(4y^2 + 4y + 1\) là một bậc hai không có nghiệm thực vì delta của nó (\(=4 - 16 < 0\)) là âm. Do đó, \(4y^2 + 4y + 1 > 0\) với mọi giá trị của \(y\), điều này dẫn đến \(\Delta < 0\).

Vì vậy, phương trình bậc hai về \(x\) không có nghiệm thực, hay nói cách khác, phương trình ban đầu:

\[
x^2 + 8y^2 - 4xy + 6x - 8y + 10 = 0
\]

không có nghiệm thực cho bất kỳ giá trị nào của \(x\) và \(y\).