Cho hình chữ nhật ABCD (ab>ad).gọi EF lần lượt là trung điểm của dc và ab . 

1) Để chứng minh tứ giác ADEF là hình chữ nhật, ta cần chỉ ra rằng các cạnh đối diện của nó song song và bằng nhau.

- Tứ giác ADEF có các cạnh:
- AD và EF: AD (bằng AD) là cạnh của hình chữ nhật ABCD, trong khi EF là trung điểm của cạnh DC và AB nên EF // AD.
- AE và DF: AE là cạnh của hình chữ nhật ABCD, DF là đoạn nối giữa hai điểm trung tâm, do đó DF // AE.

- Hơn nữa, ta cũng có các góc:
- GADE là góc vuông (góc giữa AE và AD).
- GDFE là góc vuông (góc giữa DF và EF).

Như vậy, tứ giác ADEF có hai cặp cạnh song song và các góc vuông, do đó tứ giác ADEF là hình chữ nhật.

2) Để tính diện tích hình chữ nhật ADEF:

Diện tích của hình chữ nhật ADEF được tính bằng công thức:
\[ \text{Diện tích} = \text{Chiều dài} \times \text{Chiều rộng} \]

Chiều dài AD = 5cm (Được cho) và EF = 7cm (tính từ độ dài của AB - AD trong hình chữ nhật).

Do đó:
\[ S_{ADEF} = AD \times EF = 5 \text{cm} \times 7 \text{cm} = 35 \text{cm}^2 \]

3) Để chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành, ta cần chỉ ra rằng hai cặp cạnh đối diện của nó song song và bằng nhau.

- AE // CF (vì đều là các cạnh của hình chữ nhật ABCD).
- AC // EF (vì EF là đường nối giữa hai điểm trung, do đó CF = AE).

Vì cặp bên đối diện có các cạnh song song và bằng nhau, nên tứ giác AECF là hình bình hành.

4) Để chứng minh tứ giác GHKE là hình bình hành, ta có:
- EH vuông góc với FC tại H cho thấy rằng EH // GK.
- Q và K là trung điểm của FB và HC, từ đó chúng ta có GH = KE.

Tứ giác GHKE có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song, do vậy GHKE là hình bình hành.

5) Để chứng minh QK vuông góc với EK:

- Ta có E là trung điểm của AH, G là giao điểm của GK và EH.
- Từ H, kéo dài EH với Q là trung điểm của FB, K là trung điểm của HC, sẽ đưa đến việc GK vuông góc với EH.

- Do kích thước của tứ giác GHKE, chúng ta có thể lập luận rằng do H và G nằm ở các điểm đối diện của tứ giác và rằng GK // EH vuông góc với EK.

Việc chỉ ra rằng GK là đường phân giác của góc EHK cũng sẽ hỗ trợ cho sự chứng minh.

Hy vọng những hướng dẫn này sẽ giúp bạn nắm rõ các tính chất hình học và làm bài tập một cách tốt nhất! Nếu cần thêm giải thích hay thông tin, bạn có thể hỏi thêm.