Chúng ta sẽ rút gọn biểu thức sau:

\[
\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} + \sqrt{19 + 8\sqrt{3}}
\]

### Bước 1: Rút gọn phần đầu tiên

\[
\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} = |\sqrt{3} - 2|
\]

Vì \(\sqrt{3} \approx 1.732 < 2\), nên \(|\sqrt{3} - 2| = 2 - \sqrt{3}\).

### Bước 2: Rút gọn phần thứ hai

Chúng ta cần rút gọn \(\sqrt{19 + 8\sqrt{3}}\). Để làm điều này, ta tìm hai số \(a\) và \(b\) sao cho:

\[
(a + b\sqrt{3})^2 = 19 + 8\sqrt{3}
\]

Khi bình phương, ta có:

\[
a^2 + 2ab\sqrt{3} + 3b^2 = 19 + 8\sqrt{3}
\]

So sánh hệ số:

1. \(a^2 + 3b^2 = 19\)
2. \(2ab = 8 \Rightarrow ab = 4\)

Từ \(ab = 4\), ta có \(a = \frac{4}{b}\). Thay vào phương trình 1:

\[
\left(\frac{4}{b}\right)^2 + 3b^2 = 19 \Rightarrow \frac{16}{b^2} + 3b^2 = 19
\]

Nhân cả phương trình với \(b^2\):

\[
16 + 3b^4 = 19b^2 \Rightarrow 3b^4 - 19b^2 + 16 = 0
\]

Gọi \(x = b^2\), ta có phương trình bậc hai:

\[
3x^2 - 19x + 16 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{19 \pm \sqrt{(-19)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16}}{2 \cdot 3} = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 192}}{6} = \frac{19 \pm \sqrt{169}}{6}
\]

\[
x = \frac{19 \pm 13}{6}
\]

Có hai nghiệm:

1. \(x_1 = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}\),
2. \(x_2 = \frac{6}{6} = 1\)

Do đó, \(b^2 = 1 \Rightarrow b = 1\) (bằng không tính nghiệm âm).

Khi \(b = 1\), thì từ \(ab = 4\):

\[
a = 4
\]

Vậy ta có:

\[
\sqrt{19 + 8\sqrt{3}} = 4 + 1\sqrt{3} = 4 + \sqrt{3}
\]

### Bước 3: Kết hợp lại

Giờ ta có cả hai phần của biểu thức:

\[
2 - \sqrt{3} + 4 + \sqrt{3} = 6
\]

### Kết quả cuối cùng:

\[
\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} + \sqrt{19 + 8\sqrt{3}} = 6
\]

Vậy biểu thức đã rút gọn là \(6\).