Để giải các biểu thức trong bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phép tính một:

### a)
\[
5\sqrt{25a^2 - 25a} \quad \text{với } a \leq 0
\]
Biểu thức trong căn phải không âm:
\[
25a^2 - 25a = 25a(a - 1)
\]
Xét dấu:
- Khi \( a = 0 \): \( 25 \cdot 0 \cdot (0 - 1) = 0 \)
- Khi \( a < 0 \): \( 25a(a - 1) \) dương (vì \( a < 0 \) và \( a - 1 < 0 \))

Vậy \( 25a(a - 1) \) luôn dương cho \( a < 0 \).

Áp dụng tính toán:
\[
= 5\sqrt{25a(a - 1)} = 5 \cdot 5\sqrt{a(a - 1)} = 25\sqrt{a(a - 1)}
\]

### b)
\[
\sqrt{49a^2 + 3a} \quad \text{với } a \geq 0
\]
Biểu thức trong căn:
\[
49a^2 + 3a = a(49a + 3)
\]
Vì \( a \geq 0 \) và \( 49a + 3 \geq 3 \) (do \( a \geq 0 \)), biểu thức luôn dương.

Thực hiện rút gọn:
\[
= \sqrt{a(49a + 3)} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{49a + 3}
\]

### c)
\[
\sqrt{16a^4 + 6a^2}
\]
Rút gọn biểu thức bên trong:
\[
= \sqrt{2a^2(8a^2 + 3)} = \sqrt{2} |a| \sqrt{8a^2 + 3}
\]
Vì \( a \) là số thực, chúng ta không cần phải xét dấu ở đây.

### d)
\[
3\sqrt{9a^6 - 6a^3} \quad \text{với } a \leq 0
\]
Biểu thức bên trong căn:
\[
9a^6 - 6a^3 = 3a^3(3a^3 - 2)
\]
Xét biểu thức:
- Khi \( a = 0 \): \( 3 \cdot 0(3 \cdot 0 - 2) = 0 \)
- Khi \( a < 0 \): \( a^3 < 0 \) và \( 3a^3 - 2 < 0 \)

Nên biểu thức trong căn sẽ không âm:
\[
= 3\sqrt{3a^3(3a^3 - 2)} = 3\sqrt{3} |a|^{3/2} \sqrt{3a^3 - 2}
\]

### Kết Quả
Các kết quả và điều kiện cho từng bài là:
- a) \( 25\sqrt{a(a - 1)}; a \leq 0 \)
- b) \( \sqrt{a(49a + 3)}; a \geq 0 \)
- c) \( \sqrt{2} |a| \sqrt{8a^2 + 3} \)
- d) \( 3\sqrt{3} |a|^{3/2} \sqrt{3a^3 - 2}; a \leq 0 \)