Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện hai điều kiện từ thông tin đã cho.

**Điều kiện 1:** Đa thức \(f(x)\) chia hết cho \(x - 2\), do đó \(f(2) = 0\):

\[
f(2) = 2(2^4) + a(2^2) + b(2) + c = 0
\]
Tính giá trị:

\[
f(2) = 2(16) + a(4) + 2b + c = 32 + 4a + 2b + c = 0
\]
\[
4a + 2b + c = -32 \quad (1)
\]

**Điều kiện 2:** Đa thức \(f(x)\) khi chia cho \(x^2 - 1\) sẽ có phần dư là \(x\). Theo định lý chia đa thức, ta biết rằng:

\[
f(x) = (x^2 - 1)Q(x) + R(x)
\]
với \(R(x) = x\) (phần dư), và \(Q(x)\) là một đa thức. Để tìm \(R = ax + b\), ta xét \(f(1)\) và \(f(-1)\):

1. Tính \(f(1)\):

\[
f(1) = 2(1^4) + a(1^2) + b(1) + c = 2 + a + b + c
\]
Vì \(R(1) = 1\), ta có:
\[
2 + a + b + c = 1 \quad (2)
\]
\[
a + b + c = -1 \quad (2)
\]

2. Tính \(f(-1)\):

\[
f(-1) = 2(-1^4) + a(-1^2) + b(-1) + c = 2 + a - b + c
\]
Vì \(R(-1) = -1\), ta có:
\[
2 + a - b + c = -1 \quad (3)
\]
\[
a - b + c = -3 \quad (3)
\]

**Giải hệ phương trình (1), (2), (3):**

Từ (2) và (3), ta có:

\[
a + b + c = -1 \quad (2)
\]
\[
a - b + c = -3 \quad (3)
\]

Trực tiếp trừ (2) cho (3):

\[
(a + b + c) - (a - b + c) = -1 - (-3)
\]
\[
2b = 2 \implies b = 1
\]

Thay \(b = 1\) vào (2):

\[
a + 1 + c = -1 \implies a + c = -2 \quad (4)
\]

Thay \(b = 1\) vào (1):

\[
4a + 2(1) + c = -32 \implies 4a + 2 + c = -32 \implies 4a + c = -34 \quad (5)
\]

Giải hệ phương trình (4) và (5):

Từ (4) \(c = -2 - a\). Thay vào (5):

\[
4a + (-2 - a) = -34
\]
\[
4a - a - 2 = -34 \implies 3a - 2 = -34
\]
\[
3a = -32 \implies a = -\frac{32}{3}
\]

Thay \(a\) vào (4):

\[
-\frac{32}{3} + c = -2 \implies c = -2 + \frac{32}{3} = \frac{-6 + 32}{3} = \frac{26}{3}
\]

Chúng ta đã tìm được các hệ số:

- \(a = -\frac{32}{3}\)
- \(b = 1\)
- \(c = \frac{26}{3}\)

**Tính giá trị biểu thức \(T = 6a + 3b + 3c\)**:

\[
T = 6\left(-\frac{32}{3}\right) + 3(1) + 3\left(\frac{26}{3}\right)
\]
\[
= -64 + 3 + 26 = -64 + 29 = -35
\]

Vậy giá trị biểu thức \(T\) là:

\[
\boxed{-35}
\]