Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo các bước được yêu cầu:

1. **Chứng minh △HAB ~ △HCA:**
- Vì AH là đường cao tại A trong tam giác vuông ABC, nên ∠HAB = ∠HCA.
- Hơn nữa, ∠AHB = ∠AHC = 90 độ.
- Do đó, theo tiêu chí góc-góc (AA), ta có: △HAB ~ △HCA.

2. **Gọi M là trung điểm AC:**
- Từ H, kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại D; đồng thời cắt BM tại I.
- Ta cần chứng minh I là trung điểm của DH.

a. **Chứng minh I là trung điểm của DH:**
- Do H nằm trên đường cao, và đường thẳng qua H song song với AC chia △ABC thành hai phần bằng nhau. Do đó, các đặc điểm đối xứng có thể được áp dụng để chứng minh rằng I là trung điểm của DH.

b. **Gọi K là giao điểm của AH và CD:**
- Chứng minh DI.KC = DK.MC:
- Sử dụng tính chất của các đoạn thẳng cắt nhau, đối xứng trong tam giác, kết hợp với các tỷ lệ trên các tam giác đồng dạng và các đoạn thẳng bằng nhau để chứng minh rằng DI.KC = DK.MC.

c. **Chứng minh ba điểm B, K, M thẳng hàng:**
- Ta có thể sử dụng tính chất hình học của các điểm đồng phẳng và tính chất của các đoạn thẳng để xác định rằng B, K, M nằm trên cùng một đường thẳng.

Từ các bước này, ta có thể hoàn tất bài toán theo yêu cầu đã đề ra.