Chúng ta sẽ giải quyết từng câu hỏi trong bài toán dựa trên các hình học cơ bản và tính chất của tam giác vuông.

### a. Tứ giác AEMF là hình gì? Vì sao?
Tứ giác AEMF là một hình chữ nhật. Để chứng minh điều này, ta có thể sử dụng tính chất của các đường vuông góc trong tam giác vuông:

- Đường AM là đường phân giác của góc A trong tam giác vuông ABC.
- AE vuông góc với AB và MF vuông góc với AC. Do đó, AE // MF và AE ⊥ AM.
- MF cũng vuông góc với AM.

Vì cả hai cặp đường AE và MF đều song song và đều vuông góc với AM, cho nên tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

### b. Lấy H sao cho E là trung điểm MH, lấy K sao cho F là trung điểm MK. Chứng minh tam giác MAH là tam giác vuông cân.
Để chứng minh tam giác MAH là tam giác vuông cân, ta sẽ chỉ ra rằng độ dài MA bằng độ dài AH:

- Vì E là trung điểm của MH, nên HE = ME.
- Tương tự, F là trung điểm MK, nên KF = MF.

Do đó có:
- MA = ME (vì AE vuông góc với AM).
- AH = HE (vì E là trung điểm của MH).

Từ đó, ta có MA = AH và điều này chứng tỏ MAH là tam giác vuông cân.

### c. Chứng minh H, A, K thẳng hàng.
Để chứng minh H, A, K thẳng hàng, ta chứng minh rằng các điểm này nằm trên một đường thẳng:

- Ta có tam giác MAH là tam giác vuông cân tại A.
- Xét đường thẳng MK: K là trung điểm của MF, do đó MF thuộc cùng đường thẳng với AK.
- Ta có AK // MF và MF ⊥ AM.

Từ đó cho thấy rằng H, A, K nằm trên một đường thẳng vì cả hai điểm H, A và K đều thuộc một đường thẳng song song và đều nằm trên cùng một mặt phẳng.

### d. CA là phân giác góc MCK.
Để chứng minh CA là phân giác của góc MCK, ta chỉ ra rằng:

- Xét hai tam giác ACM và ACK. Theo định nghĩa của phân giác, ta sẽ có tỉ số cạnh đối diện.
- Vì H nằm trên CA và K nằm trên MF, miền này tạo thành góc MCK, trong khi CA sẽ chia dữ liệu về mặt hình học đối với các khoảng cách trên MT.

Ta sẽ quy tụ lại rằng vì KE, ME lần lượt là các điểm nằm trên MF và AE, nên có thể nói rằng CA chia đôi góc MCK.

Hy vọng rằng những phân tích trên giúp ích cho bạn trong việc giải quyết bài toán này. Nếu cần thêm chi tiết hoặc giải pháp nào khác, vui lòng cho biết!