Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng phần yêu cầu.

### a) Chứng minh rằng H thuộc đường tròn tâm O đường kính AB.

1. **Xác định các điểm:**
- Giả sử A và B là hai điểm trong mặt phẳng, với O là trung điểm của đoạn thẳng AB.
- A và B đã được xác định, như vậy O có tọa độ là \((\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2})\).
- Điểm C nằm trên tia Ax và D nằm trên tia By sao cho \(\angle COD = 90^\circ\).

2. **Vẽ góc:**
- \(OH \perp CD\) nghĩa là O nằm trên đường thẳng OH, và H là giao điểm giữa CD và đường thẳng vuông góc với CD đi qua O.

3. **Tính diện tích tam giác COD:**
- Do \(\angle COD = 90^\circ\), nên tam giác COD là tam giác vuông tại O.
- Ký hiệu: OC = r1; OD = r2.

4. **Tìm thức tính H:**
- Từ tam giác COD, ta có chiều cao OH xuống cạnh CD. H sẽ là giao điểm của đoạn thẳng này và do đặc tính của trung điểm trên tam giác, tam giác OHD sẽ có góc vuông tại O.

5. **Áp dụng định lý Pythagore:**
- Từ tam giác OHC, ta có:
\[
OH^2 + CH^2 = OC^2 \implies OH^2 + \left( \frac{CD}{2} \right)^2 = r1^2
\]
- Do đó, H được xác định là điểm nằm cách O một khoảng là bán kính ( khoảng cách O đến A và O đến B).

### b) Xác định vị trí tương đối của CD với đường tròn (O).

1. **Kiểm tra vị trí tương đối:**
- Do H nằm trên đường tròn tâm O và bán kính bằng \(\frac{AB}{2}\), thì vị trí của H sẽ xác định cách CD cắt đường tròn.
- Từ H, vì OH vuông góc với CD, nghĩa là góc COD sẽ ảnh hưởng đến vị trí của H và sẽ không cắt đường tròn tại O.

2. **Phân tích tình huống:**
- Nếu CD cắt đường tròn ở điểm H, nó sẽ có hai trường hợp:
1. CD cắt đường tròn tại 2 điểm (có 2 giao điểm).
2. CD tiếp xúc với đường tròn tại H (1 giao điểm).
3. CD nằm ngoài đường tròn (không có giao điểm).

Như vậy, ta có dịch chuyển tâm hoàn toàn với các góc, từ đó sẽ chứng minh được các góc còn lại.

### Kết luận:

- **Phần a:** H thuộc đường tròn tâm O, đường kính AB.
- **Phần b:** Vị trí tương đối của CD với đường tròn (O) có thể là cắt hoặc tiếp xúc tùy thuộc vào khoảng cách giữa hai điểm C và D với H.