Để giải bài toán về tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH, ta có thể thực hiện các bước sau:

### a) Tính các cạnh AB, AC, BH và ACB
1. **Sử dụng sin của góc**:
\[
\sin ABC = \frac{AB}{BC}
\]
Từ đề bài, ta có \(\sin ABC = \frac{3}{5}\) và \(BC = 20\) cm.
\[
AB = BC \cdot \sin ABC = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12 \text{ cm}
\]

2. **Sử dụng định lí Pytago**:
\[
AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \text{ cm}
\]

3. **Tính góc ACB**:
\[
\tan ACB = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}
\]

### b) Chứng minh AD \cdot AC = BH \cdot BC
- Sử dụng định lý về đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[
AD = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]
Nếu có thể chứng minh rằng \(AD \cdot AC = BH \cdot BC\), thì bạn sẽ hoàn thành điều này bằng cách sử dụng các giá trị đã tính ở trên.

### c) Kẻ tia phân giác BE
- Áp dụng định lý tia phân giác và góc để chứng minh tính chất liên quan đến các đoạn thẳng.

### d) Lấy K thuộc đoạn AC
- Kẻ KM vuông góc với HC tại M và KN vuông góc với AH tại N. Sử dụng định nghĩa về đoạn thẳng vuông góc, bạn sẽ có thể chứng minh quan hệ giữa các đoạn thẳng HHN, HNM, K và KC.

**Lưu ý**: Để giải đầy đủ từng phần trong bài, hãy tiếp tục theo dõi các chứng minh bằng cách áp dụng các tính chất của tam giác vuông và định lý hình học.