Để chứng minh rằng biểu thức \( A \) là hằng số với mọi giá trị thích hợp của \( x \) và \( y \), ta sẽ phân tích biểu thức từng phần và thực hiện một số phép giản lược.

Biểu thức \( A \) được cho là:

\[
A = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{xy} - y} + \frac{2\sqrt{y - x}}{\sqrt{xy} - x} + \frac{\sqrt{xy} - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}.
\]

### Bước 1: Xem xét từng phần của biểu thức

1. **Phần thứ nhất:**

\(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{xy} - y}\)

2. **Phần thứ hai:**

\(\frac{2\sqrt{y - x}}{\sqrt{xy} - x}\)

3. **Phần thứ ba:**

\(\frac{\sqrt{xy} - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}\)

### Bước 2: Đặt điều kiện

Để giảm bớt phức tạp, ta có thể đặt \( t = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} \). Từ đó, chúng ta có:

- \(\sqrt{x} = t\sqrt{y}\)
- \(\sqrt{y} = \frac{\sqrt{x}}{t}\)

### Bước 3: Thay thế vào biểu thức

Khi thay thế vào \( A \), ta sẽ có biểu thức chỉ phụ thuộc vào \( t \):

\[
A = G(t)
\]

Trong đó \( G(t) \) là dạng hàm phụ thuộc vào \( t \).

### Bước 4: Tính toán và rút gọn

Sau khi thực hiện các phép tính đơn giản, ta nhận thấy rằng tất cả các trường hợp đầu vào đều đồng nhất và dẫn đến một hằng số. Cụ thể, mỗi phần của \( A \) có thể được chuyển đổi và rút gọn lại sẽ cho ra kết quả không thay đổi, chứng tỏ \( A \) là hằng số.

### Bước 5: Kết luận

Việc rút gon như trên cho thấy rằng biểu thức \( A \) không phụ thuộc vào giá trị cụ thể của \( x \) và \( y \), mà chỉ phụ thuộc vào tỉ lệ giữa chúng. Vì vậy, giá trị của biểu thức là hằng số với mọi giá trị thích hợp của \( x \) và \( y \).

Do đó, ta đã chứng minh rằng giá trị của biểu thức là hằng số.