Để chứng minh rằng trong hình thang cân ABCD (với AB // CD), với AC và BD cắt nhau tại I, AD và BC cắt nhau tại K, ta có IC = ID và IA = IB, ta sẽ sử dụng tính chất của hình thang cân và các cặp tam giác đồng dạng.

**Chứng minh:**

1. **Tính chất của hình thang cân**: Vì ABCD là hình thang cân, nên ta có AB // CD và AD = BC.

2. **Tam giác đồng dạng**:
- Xét tam giác AID và BIC:
- Do AB // CD nên có góc AIB = góc CID (góc so le trong).
- Đồng thời, góc IAD = góc IBC (góc so le trong).
- Vậy, ta có ∆AID ~ ∆BIC (hai tam giác đồng dạng).

3. **Tính tỉ lệ giữa các cạnh**:
- Do hai tam giác AID và BIC đồng dạng, nên tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng là bằng nhau:
\[
\frac{IA}{IB} = \frac{AD}{BC}
\]
- Mà AD = BC, nên ta có:
\[
\frac{IA}{IB} = 1 \Rightarrow IA = IB.
\]

4. **Tương tự cho tam giác AIC và BID**:
- Xét tam giác AIC và BIC:
- Ta có góc AIC = góc BID (góc đối diện trong).
- Tương tự, góc ACI = góc BDI (góc đối diện trong).
- Vậy, ta có ∆AIC ~ ∆BID (hai tam giác đồng dạng).

5. **Tính tỉ lệ giữa các cạnh**:
- Do hai tam giác AIC và BID đồng dạng, nên cũng có tỉ lệ:
\[
\frac{IC}{ID} = \frac{AC}{BD}
\]
- Mà AC = BD (do ABCD là hình thang cân), nên ta có:
\[
\frac{IC}{ID} = 1 \Rightarrow IC = ID.
\]

Từ các bước trên, ta đã chứng minh được rằng IC = ID và IA = IB.

**Kết luận**: Vậy, ta có IC = ID và IA = IB như yêu cầu.