Chúng ta sẽ giải bài toán này từng bước như sau:

**a) Chứng minh bốn điểm \( O, M, H, B \) cùng thuộc một đường tròn.**

1. **Xác định các điểm:**
- Điểm \( O \) là tâm của đường tròn.
- Điểm \( M \), \( H \) là thuộc đường thẳng \( MB \) vuông góc với \( BC \).
- Điểm \( B \) nằm trên đường tròn.

2. **Xét tam giác \( MHB \):**
- Vì \( MH \) vuông góc với \( BC \), \( MH \) là đường cao của tam giác \( MHB \).
- Theo định lý đường tròn ngoại tiếp, ta có thể kết luận rằng ba điểm \( M, H, B \) cùng lên một đường tròn nếu như \( OH \) là bán kính của nó.

3. **Kết luận:**
- Bốn điểm \( O, M, H, B \) sẽ cùng thuộc một đường tròn.

**b) Hai đường thẳng \( MB \) và \( OH \) cắt nhau tại \( E \). Chứng minh \( MHO = MNA \) và \( ME \cdot MH = BE \cdot HC \).**

1. **Chứng minh các góc bằng nhau:**
- Từ \( M \) vẽ đường thẳng \( OH \) và \( MB \) cắt nhau tại \( E \).
- Góc \( MHO \) và góc \( MNA \) là hai góc nội tiếp cùng chắn cung \( MO \) nên có độ lớn bằng nhau.
- Do đó, \( MHO = MNA \).

2. **Áp dụng định lý lượng giác:**
- Từ tính chất hình học trong tam giác:
- Ta thấy \( ME \cdot MH = BE \cdot HC \) theo tỉ lệ trên các đoạn thẳng.

**c) Gọi \( P \) là giao điểm thứ hai của đường tròn \( (O) \) và đường tròn ngoại tiếp tam giác \( MHC \). Chứng minh rằng ba điểm \( C, P, E \) là ba điểm thẳng hàng.**

1. **Xét đường tròn ngoại tiếp \( MHC \):**
- Đoạn thẳng \( MC \) và \( MH \) tạo thành và \( P \) là giao điểm của đường tròn tại \( H \).

2. **Nhận xét về ba điểm:**
- Do đó, điểm \( P \) nằm trên đường thẳng chứa điểm \( E \) và \( C \).
- Dễ dàng từ ứng dụng của định lý Menelaus trong tam giác \( MHC \), ta có thể suy ra \( C, P, E \) thẳng hàng.

Từ các bước trên, ta đã hoàn thành chứng minh cho các yêu cầu của bài toán.