Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đặt số bút bi mà cửa hàng nhập về tuần thứ nhất là \( x \) và số bút bi mà cửa hàng nhập về tuần thứ hai là \( y \).

Theo đề bài, ta có các thông tin sau:

1. Tuần thứ nhất bán được \( \frac{4}{9}x \) bút bi.
2. Sau khi bán tuần thứ nhất, số bút bi còn lại là \( x - \frac{4}{9}x = \frac{5}{9}x \).
3. Tuần thứ hai bán được \( \frac{3}{5} \) số bút bi còn lại, tức là:
\[
\text{Số bút bi bán tuần thứ hai} = \frac{3}{5}\left(\frac{5}{9}x\right) = \frac{3}{9}x = \frac{1}{3}x
\]
4. Chênh lệch số bút bi bán được giữa tuần thứ nhất và tuần thứ hai là 100 cái, tức là:
\[
\frac{4}{9}x - \frac{1}{3}x = 100
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình:

Trước tiên, đổi \( \frac{1}{3}x \) về cùng mẫu với \( \frac{4}{9}x \):
\[
\frac{1}{3}x = \frac{3}{9}x
\]
Vậy phương trình trở thành:
\[
\frac{4}{9}x - \frac{3}{9}x = 100
\]
\[
\frac{1}{9}x = 100
\]

Nhân cả hai vế với 9:
\[
x = 900
\]

Vậy, số bút bi nhập về tuần thứ nhất là 900 cái.

Giờ hãy tính số bút bi bán được trong mỗi tuần:
- Tuần thứ nhất bán được:
\[
\frac{4}{9} \times 900 = 400 \text{ cái}
\]

- Tuần thứ hai bán được:
\[
\frac{1}{3} \times 900 = 300 \text{ cái}
\]

Tóm lại:
- Cửa hàng nhập về 900 cái bút bi.
- Tuần thứ nhất bán được 400 cái.
- Tuần thứ hai bán được 300 cái.