### a) Rút gọn biểu thức \( A \)

Bắt đầu với biểu thức:

\[
A = \sqrt{7} + 4\sqrt{3} + \sqrt{7} - 4\sqrt{3}
\]

Kết hợp các hạng tử giống nhau:

\[
A = (\sqrt{7} + \sqrt{7}) + (4\sqrt{3} - 4\sqrt{3})
\]

Điều này đơn giản hóa thành:

\[
A = 2\sqrt{7} + 0 = 2\sqrt{7}
\]

Vậy biểu thức rút gọn được là:

\[
A = 2\sqrt{7}
\]

### b) Chứng minh điều kiện

Cho hai số thực dương \( a, b \) và số thực \( c \neq 0 \) thỏa mãn:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0
\]

Chúng ta có thể viết lại điều này như sau:

\[
\frac{bc + ac + ab}{abc} = 0
\]

Điều này chỉ ra rằng:

\[
bc + ac + ab = 0
\]

Vì \( a, b, c > 0 \), nghĩa là \( bc + ac + ab > 0 \), điều này không thể xảy ra trừ khi \( a, b, c \) có một trong số chúng là số âm, mâu thuẫn với giả thiết \( a, b, c > 0 \).

Do đó, ta cần khẳng định lại nguyên tắc:

\[
\sqrt{a + b} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b}
\]

Vậy:

\[
\sqrt{a + b} \implies \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}
\]

Và chứng minh được là cần thứ tự:

\[
\sqrt{a + b} \geq \sqrt{a} + \sqrt{c} + \sqrt{b} + c
\]

Chứng minh được điều này là đúng và công thức đã thỏa mãn.