Để chứng minh các tứ giác có các điểm như trong đề bài thuộc một đường tròn, ta có thể sử dụng tính chất của các góc và đường tròn.

### a) Chứng minh 4 điểm A, F, C, D cùng thuộc một đường tròn:

1. **Đường cao:** AD là đường cao từ A, thì \( AD \perp BC \).
2. **Hình chiếu:** F là hình chiếu của A trên đường thẳng BC. Do đó, \( AF \perp BC \).
3. **Tứ giác AFCD** là tứ giác có các góc:
- \( \angle AFD = 90^\circ \) và \( \angle ACD = 90^\circ \).
- Hai góc này bù nhau nên tứ giác AFCD là tứ giác có hai góc nằm đối diện bù nhau.

Theo định lý tứ giác có 2 góc bù nhau, thì A, F, C, D cùng thuộc một đường tròn.

### b) Chứng minh 4 điểm D, F, E, C cùng thuộc một đường tròn:

1. **Hình chiếu và giao điểm:** D là giao điểm của đường cao AD và BF, E là hình chiếu của B trên AC.
2. **Tứ giác DEFC:**
- \( DE \perp AC \) (vì E là hình chiếu),
- \( DF \perp BC \) (vì D là giao điểm của đường cao).
3. **Hai góc**:
- \( \angle DEF = 90^\circ \) và \( \angle DCF = 90^\circ \) (cùng đối diện).
- Như vậy, góc DEF và góc DCF là hai góc đối diện bù nhau, vì vậy D, F, E, C cùng thuộc một đường tròn.

### c) Chứng minh 4 điểm A, E, D, F cùng thuộc một đường tròn:

1. Tương tự như trên, với E là hình chiếu của B lên AC và D là giao điểm của đường cao từ A (AD).
2. **Tứ giác AEDF:**
- \( AE \perp AC \),
- \( AD \perp BC \).
3. Khi \( \angle AED = \angle AFD = 90^\circ \), thì AEDF có 2 góc đối diện là 90 độ, vậy AEDF cùng nằm trên một đường tròn.

### d) Chứng minh 4 điểm A, F, H, E cùng thuộc một đường tròn:

1. H là tọa độ giao điểm của 3 đường cao.
2. **Tứ giác AFHE:**
- \( AF \perp BC \) (đường cao),
- \( EH \perp AC \) (vì E là hình chiếu).
3. **Tính chất góc:**
- Góc AHF và góc AEF là 90 độ.
- Như vậy, góc AHF và góc AEF là hai góc đối diện bù nhau.

Do đó, tứ giác AFHE cũng sẽ cùng thuộc một đường tròn.

Tóm lại, tất cả các tứ giác trên đều thuộc một đường tròn theo định lý của tứ giác có 2 góc đối diện bù nhau.