Để giải bài toán này, ta có thể tiến hành như sau:

### a) Chứng minh tứ giác AEFC là hình bình hành:

1. **Gọi các điểm**:
- Gọi độ dài \( AE = CF = x \).
- Gọi độ dài \( EB = a \) và \( DF = b \).

2. **Xét các cạnh**:
- Trong hình bình hành, hai cặp cạnh đối diện phải bằng nhau.
- Ta có:
- \( AE + EB = AB \) suy ra \( AE + a = AB \).
- Tương tự, ta có \( CF + DF = CD \) suy ra \( CF + b = CD \).

3. **So sánh cạnh**:
- Vì hình chữ nhật ABCD có \( AB = CD \), ta có:
\[
AE + EB = CF + DF \implies x + a = x + b \implies a = b.
\]

4. **Kết luận**:
- Với \( a = b \), ta có \( AE = CF \) và \( EB = DF \).
- Do đó, tứ giác AEFC thỏa mãn điều kiện là hình bình hành.

### b) Chứng minh các đường thẳng AC, BD, EF đồng quy:

1. **Cách xây dựng**:
- Vẽ đường chéo AC và BD.
- Sử dụng tính chất của hình bình hành AEFC, ta có:
\[
EF \parallel AC \quad và \quad EF \parallel BD.
\]

2. **Sử dụng định lý**:
- Trong một hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Do vậy, nếu EF nối giữa các điểm giữa của AC và BD thì EF sẽ đi qua điểm giao nhau của AC và BD.

3. **Kết luận**:
- Từ các bước trên, ta chứng minh rằng EF, AC và BD đồng quy tại một điểm.

### Tóm lại:
- **AEFC là hình bình hành**.
- **Các đường thẳng AC, BD, EF đồng quy**.