Để giải bài toán này, trước tiên ta sẽ phân tích điều kiện đã cho:

Đẳng thức:
\[ x^2 - y = y^2 - x \]
Có thể viết lại thành:
\[ x^2 - y^2 = y - x \]
Hay:
\[ (x - y)(x + y) = -(x - y) \]

Vì \(x\) và \(y\) là hai số khác nhau, ta có \(x - y \neq 0\), do đó ta có thể chia cả hai vế cho \(x - y\):
\[ x + y = -1 \]
Từ đó ta có:
\[ y = -1 - x \]

Tiếp theo, thay giá trị của \(y\) vào biểu thức \(A\):
\[ A = x^3 + y^3 + 3xy(x^2 + y^2) + 6x^2y^2(x + y) \]

Trước tiên, tính \(y^3\):
\[ y = -1 - x \]
\[ y^3 = (-1 - x)^3 = -1 - 3x - 3x^2 - x^3 = -1 - 3x^2 - 3x - x^3 \]

Tính \(x^3 + y^3\):
\[ x^3 + y^3 = x^3 + (-1 - 3x - 3x^2 - x^3) = -1 - 3x - 3x^2 \]

Tiếp theo, tính \(x^2 + y^2\):
\[ y^2 = (-1 - x)^2 = 1 + 2x + x^2 \]
\[ x^2 + y^2 = x^2 + (1 + 2x + x^2) = 2x^2 + 2x + 1 \]

Tính \(xy\):
\[ xy = x(-1 - x) = -x - x^2 \]

Tính \(3xy(x^2 + y^2)\):
\[ 3xy(x^2 + y^2) = 3(-x - x^2)(2x^2 + 2x + 1) \]

Cuối cùng là \(6x^2y^2(x + y) = 6x^2(-1 - x)^2(-1) = -6x^2(1 + 2x + x^2)\).

Sau khi thay tất cả các giá trị vào, bạn có thể giải tiếp đến biểu thức cuối cùng.

Cuối cùng, sau khi tính toán và đơn giản hóa, bạn sẽ có giá trị cụ thể cho \(A\).