Để tính các cạnh AC và BC của tam giác ABC, ta sẽ sử dụng định lý Pythagore và một số thông tin đã cho.

1. **Gọi các cạnh**:
- Gọi \( BH = x \)
- Gọi \( HC = 16 \text{ cm} \)
- Gọi \( AB = 13 \text{ cm} \)
- Gọi \( AH = 12 \text{ cm} \)

2. **Tính độ dài BC**:
\[
BC = BH + HC = x + 16
\]

3. **Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác \( ABH \)**:
Trong tam giác vuông \( ABH \) có:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
Thay các giá trị đã biết:
\[
13^2 = 12^2 + x^2
\]
\[
169 = 144 + x^2
\]
\[
x^2 = 169 - 144 = 25
\]
\[
x = 5 \text{ cm}
\]

4. **Tính BC**:
\[
BC = BH + HC = 5 + 16 = 21 \text{ cm}
\]

5. **Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác \( ACH \)**:
Trong tam giác vuông \( ACH \) có:
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2
\]
Thay các giá trị đã biết:
\[
AC^2 = 12^2 + 16^2
\]
\[
AC^2 = 144 + 256 = 400
\]
\[
AC = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}
\]

6. **Kết luận**:
- Độ dài cạnh \( AC = 20 \text{ cm} \)
- Độ dài cạnh \( BC = 21 \text{ cm} \)

Vậy kết quả là: \( AC = 20 \text{ cm} \) và \( BC = 21 \text{ cm} \).