Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Xét hàm số** \( f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \).
2. **Tính đạo hàm** \( f'(x) \) bằng quy tắc đạo hàm cho hàm phân thức:
\[
f'(x) = \frac{(c)(ax + b) - (a)(cx + d)}{(cx + d)^2} = \frac{acx + bc - acx - ad}{(cx + d)^2} = \frac{bc - ad}{(cx + d)^2}
\]

3. **Phân tích đồ thị của \( f'(x) \)**:
- Từ đồ thị của \( f'(x) \) có thể thấy rằng:
- Đạo hàm bằng 0 (có cực trị) tại \( x = 1 \) (điểm giao của đồ thị với trục hoành).
- Đạo hàm dương khi \( x < 1 \) và âm khi \( x > 1 \) cho thấy \( f(x) \) đang tăng trước \( x = 1 \) và giảm sau \( x = 1 \).
- Đồ thị có hiệu ứng tiệm cận tại \( x = -\frac{d}{c} \) và \( f(x) \) không xác định nếu \( cx + d = 0 \).

4. **Tìm giá trị của \( f(3) \)**:
- Từ thông tin đã cho, \( f(x) \) đi qua điểm \( A(0;2) \), nghĩa là \( f(0) = 2 \).
- Tính \( f(0) \):
\[
f(0) = \frac{b}{d} = 2 \implies b = 2d
\]

5. **Sử dụng thông tin về đồ thị**:
- Từ đồ thị cho thấy rằng giá trị \( f(x) \) tại \( x = 3 \) có thể tính bằng cách thay \( x = 3 \) vào hàm số:
\[
f(3) = \frac{3a + b}{3c + d}
\]

- Thay \( b = 2d \) vào phương trình:
\[
f(3) = \frac{3a + 2d}{3c + d}
\]

6. **Tìm giá trị cụ thể**:
- Ta cần thêm điều kiện để xác định \( a, c, d \).
- Với định điều kiện, bạn có thể chọn số thực cụ thể cho \( a \), \( c \), và \( d \) sao cho thỏa mãn các điều kiện.

Cuối cùng, bạn sẽ có \( f(3) \) dưới dạng biểu thức liên hệ giữa các hệ số \( a, c, d \), và cần thêm thông tin cụ thể để tính giá trị.