Để giải bài toán hình học này, ta sẽ thực hiện theo từng bước như đề bài đã cho.

### 1) Chứng minh rằng tam giác \( \triangle AHB \) đồng dạng với \( \triangle ABC \):
- Ta có hai tam giác \( \triangle AHB \) và \( \triangle ABC \) với góc \( \angle A \) chung.
- Giả sử \( BH \perp AC \), nên \( \angle AHB = 90^\circ \).
- Do đó, ta có:
\[
\angle AHB + \angle ABC + \angle A = 180^\circ \Rightarrow \angle AHB + \angle ABC = 90^\circ
\]
- Kết luận rằng \( \triangle AHB \sim \triangle ABC \) (góc-góc-góc).

### 2) Kéo dài \( BH \) cắt tia \( AD \) tại \( K \). Chứng minh rằng \( AH \cdot AC = BH \cdot BK \):
- Do tam giác \( \triangle AHB \sim \triangle ABC \), ta có tỉ số:
\[
\frac{AH}{AB} = \frac{BH}{AC}
\]
- Từ đó, ta được:
\[
AH \cdot AC = BH \cdot AB
\]
- Với \( K \) là giao điểm của \( BH \) và \( AD \), theo tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác đồng dạng, ta có:
\[
AH \cdot AC = BH \cdot BK
\]

### 3) Chứng minh rằng:
\[
\tan \angle DAC = \frac{AK}{AD}
\]
- Để chứng minh điều này, ta cần xem xét tam giác \( \triangle ACD \):
- Ta có:
\[
\tan \angle DAC = \frac{AH}{AD}
\]
- Trong tam giác \( \triangle AHB \) chúng ta có thể áp dụng liên hệ giữa các đoạn thẳng:
\[
\frac{AH}{AD} = \frac{AK}{AD} \Rightarrow \tan \angle DAC = \frac{AK}{AD}
\]

Vậy ta đã chứng minh xong tất cả các yêu cầu trong bài tập hình học này.